Условия про НОД и НОК

Обозначим Так как и делятся на то их разность делится на Тогда или

Как известно, откуда выражение из условия принимает вид

Поскольку может принимать значения только двух констант: или то нам достаточно будет максимизировать функцию

Эта функция определена уже при всех действительных , потом учтём, что у нас было натуральное . Для максимизации посмотрим на её производную:

Производная при имеет ровно одну точку экстремума (это кстати натуральное число), которая является точкой максимума, потому является глобальным максимумом при А ещё удачным образом при имеем — также принимает максимальное значение, потому при достигает максимума и функция Равен этот максимум