Разложение на множители, основная теорема арифметики
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Существуют ли пять натуральных чисел таких, что ни одно из них не делится на другое, но квадрат любого числа делится на каждое из остальных?
б) Существуют ли пять натуральных чисел таких, что ни одно из них не делится на другое, но квадрат любого числа делится на произведение остальных?
Пункт а), подсказка 1
Попробуем построить пример, может быть, такое возможно. Логично рассмотреть какой-то набор простых чисел и попробовать из них поконструировать пять чисел.
Пункт а), подсказка 2
Пусть есть простые числа p₁, p₂, p₃, p₄, p₅. Пусть каждое из пяти чисел включает в своё разложение на простые произведение p₁p₂p₃p₄p₅. Можно ли подкорректировать числа, чтобы выполнялось условие?
Пункт а), подсказка 3
Оказывается, что да. Действительно, пусть первое число есть p₁²p₂p₃p₄p₅, второе — p₁p₂²p₃p₄p₅ и т.д. Тогда условие выполнено!
Пункт б), подсказка 1
Пусть есть такие числа a, b, c, d, e. Тогда запишите условие для квадрата каждого числа, что из них можно вывести?
Пункт б), подсказка 2
Из них следует, что a²b²c²d²e² ⋮ a⁴b⁴c⁴d⁴e⁴. Но тогда 1 ≥ a²b²c²d²e² ≥ 1. Какой вывод можно сделать?
Пункт б), подсказка 3
Конечно же, такое возможно только при a = b = c = d = e = 1, но такой набор не удовлетворяет условию. Отсюда следует ответ!
а) Да, существуют. Рассмотрим числа 
, 
, 
, 
, 
. Для любых пяти попарно
различных простых чисел 
этот набор соответствует условию пункта (а).
Замечание. Другой пример: 
б) Предположим, что существуют такие натуральные числа 
. Тогда из 
, 
, 
, 
, 
немедленно следует 
. Но тогда 
и 
, а в таком случае единственно
возможная ситуация: 
. Но это противоречит предположению, что ни одно из чисел не делится на
другое.
а) да
б) нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
