Разложение на множители, основная теорема арифметики
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наибольшее количество различных натуральных чисел, не превосходящих 
, можно выбрать так, чтобы произведение любых
двух выбранных чисел было точным квадратом?
Подсказка 1
Пусть у вас есть некий набор из этих чисел, который подходит под условие. Попробуйте преобразовать каждое из чисел по общему правилу так, чтобы набор, который получился после преобразования, также удовлетворял условию про «произведение любых двух-квадрат».
Подсказка 2
Да, нужно поделить каждое из чисел на максимальный квадрат, который делит данное число. Что тогда можно сказать про получившееся число? Какие степени вхождения простых?
Подсказка 3
Да, степени вхождения простых равны 1. Теперь возьмем два любых числа из получившегося набора. Их произведение также будет квадратом(ровно так мы и получили эти числа). Какой вывод можно сделать про эти два числа на основе первого и третьего предложения? А какой тогда вывод можно сделать про все числа?
Подсказка 4
Да, выходит, что эти два числа равны(поскольку если у одного из них есть какое-то простое, которого нет у другого, то степень этого простого будет равна 1 и число точно не будет квадратом). Но мы же взяли два любых числа и сделали такой вывод. Что это значит в рамках всего набора?
Подсказка 5
Это значит, что все числа из получившегося набора равны. Попробуйте вернуть то, на что поделили каждое число из изначального набора и понять, сколько максимум можно взять чисел вида n*x^2(n-их общая часть, х^2-то на что делили) из набора от 1 до 2021. Каким нужно взять n для максимизации кол-ва?
Рассмотрим выбранные числа и поделим каждое на наибольший точный квадрат, на который оно делится. Поскольку мы делим на квадрат,
то любое произведение останется квадратом. Однако простые множители входят в каждое число не больше, чем в первой степени. Если
для каких-то двух чисел этот набор простых оказался разным, то хотя бы одно в произведении будет в нечётной степени
и произведение не будет квадратом. Потому все полученные числа совпадают и равны некоторому 
. Каждое число
из первоначального набора получается умножением 
на какой-то квадрат. Если 
, то чисел не более 
(они
будут равны 
), поскольку 
. Если же 
, то 
, то есть чисел меньше
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
