Разложение на множители, основная теорема арифметики
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В произведении 
разрешается приписать некоторым сомножителям восклицательный знак (при этом сомножитель 
заменяется на 
). При каких 
в результате можно получить точный квадрат?
Подсказка 1
Давайте прикинем, какие вообще числа подойдут. Перебираем ручками и понимаем, что простые числа вроде 2,3,5 не подходят в качестве n. А, например, сами квадраты вроде 4 или 9 подойдут, ведь можно поставить после числа !, то есть получить 1 * 2 * 3 * ... * 7 * 8 * 9! два раза произведение чисел от 1 до 8 и саму девятку, а в итоге (8!)² * 9 = (3 * 8!)²
Подсказка 2
Надо подумать в терминах множителей, что вообще добавляет в произведение эта операция постановки восклицательного знака после множителя k.
Подсказка 3
Давайте постепенно добавлять простые множители, которые входят в нечётных степенях, чтобы в итоге все простые множители оказались в чётных степенях. Как бы это аккуратно сделать?
Подсказка 4
Приписать восклицательный знак нужно к числу p+1 (где p-наибольшее простое в нечетной степени вхождения). Ого, мы исправили ситуацию с p. А можно ли также сделать и для других простых?
Первое решение.
Операция постановки восклицательного знака, применённая к числу 
даёт возможность добавить в произведение множители от 
до 
включительно.
Заметим, что если число 
простое, то как бы мы ни расставляли восклицательные знаки, в произведении всё равно останется простой
множитель 
в первой степени, так что получить квадрат не удастся.
При составном 
будем действовать следующим образом. Разложим произведение 
в виде произведения
степеней простых и посмотрим, какие простые числа входят в нечётных степенях. Если таких чисел нет, то перед нами уже
квадрат. Иначе обозначим наибольшее из этих простых за 
Поставим восклицательный знак после числа 
Так мы
добавили в произведение все числа от 
до 
так что степень простого числа 
увеличилась на 
и стала чётной.
Кроме того, степени вхождения простых чисел, больших 
не изменились. Для нового произведения сделаем ту же
операцию, то есть пересчитаем степени вхождения простых чисел и упорядочим те простые, что входят в нечётных степенях, в
порядке убывания, и снова “исправим” наибольшее. Такими операциями мы в итоге придём к числу, являющимся точным
квадратом.
Второе решение.
Предположим, что 
простое. Тогда степень вхождения 
в произведение будет равна 
(как бы мы ни приписывали
восклицательные знаки). Тогда число не является точным квадратом. Предположим, что 
Тогда можно приписать факториал после
В итоге останется 
— точный квадрат.
Теперь предположим, что 
где 
и 
Не нарушая общности, 
Рассмотрим два случая.
Если 
то припишем факториал к 
и 
(эти три числа различны). Останется
Если же 
то припишем факториал к 
(все эти числа различны). Получится
что также является точным квадратом.
при составных
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
