Разложение на множители, основная теорема арифметики

Предположим, что среди этих чисел нет точного квадрата. Обозначим через все простые числа, меньшие Заметим, что по условию каждое выписанных чисел раскладывается в произведение в некоторых степенях. Каждое из наших простых чисел входит в одно выписанное число в четной или нечетной степени. Сопоставим каждому выписанному числу последовательность из и длины Число на - ой позиции будет равно если в ходит в выписанное число в нечетной степени и в противном случае (на самом деле это и есть бесквадратная часть, про которую мы говорили в теории). Предположим, что среди последовательностей выписанных чисел есть три различные. Тогда для трех соответствующих этим последовательностям чисел не выполнено условие (два числа в произведении могут давать точный квадрат, только если четности вхождения каждого - ого одинаковые).

То есть мы показали, что различных последовательностей может быть не больше Обозначим эти последовательности через и Обозначим через Очевидно что Считаем. что тогда так как при мы получим, что числа являются квадратами, а мы предположили, что их нет. Каждое из выписанных чисел дает точный квадрат либо при делении на либо при делении на Причем для чисел, которым соответствуют одинаковые последовательности, эти квадраты должны быть различными. Рассмотрим наибольшее выписанное число, которому соответствует последовательность -шек. Оно равно для некоторого натурального откуда то есть Но тогда количество выписанных чисел, которым соответствует первая последовательность, не превосходит Аналогично поступаем со второй последовательностью. Опять рассматривает наибольшее число откуда то есть откуда таких чисел не больше То есть всего чисел не больше, чем Получили противоречие с количеством данных чисел.