Тема . Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113667

Решите уравнение

|x− 1|+ |x +1|+|x− 2|+ |x +2|+ ⋅⋅⋅+|x− 100|+ |x+ 100|= 200x.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Так как $|a|+ |b|≥|a+ b|,$ то получаем, что

200x= |x+1|+ |x− 1|+|x− 2|+ |x +2|+⋅⋅⋅+|x+ 100|+|x− 100|≥

≥|x+1 +x − 1|+|x− 2+ x+2|+ ...+ |x+ 100 +x − 100|= 200|x|

200x≥ 200|x|

Это равносильно $x≥ 0.$

При $x≥ k,$ где $k= 1,...,100:$

|x +k|+ |x− k|= x+k +x − k= 2x

При $x< k,$ где $k= 1,...,100:$

|x+k|+ |x− k|= x+k +k − x =2k> 2x

Отсюда видно, что при $x ≥100$ равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой $2x$ ), но если же $x< 100,$ то сумма модулей будет больше $200x.$

Ответ:

$[100;+∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse