Уравнения с модулем

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)