Уравнения с модулем

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль:

2. Раскрытие модулей

Рассмотрим различные случаи для раскрытия модулей.

Модуль :

Модуль :

3. Решение уравнения по частям

Случай 1:

В этом случае:

Уравнение принимает вид:

Приведем всё к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Таким образом, уравнение становится:

Решим его:

Это значение не принадлежит области , поэтому решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 2:

В этом случае:

Уравнение принимает вид:

Приведем всё к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Таким образом, уравнение становится:

Решим это уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Из корней и , только принадлежит промежутку .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 3:

В этом случае:

Уравнение принимает вид:

Преобразуем:

Приведем всё к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Таким образом, уравнение становится:

Решим его:

что приводит к противоречию. Решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 4:

В этом случае:

Уравнение принимает вид:

Приведем всё к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Таким образом, уравнение становится:

Решим его:

Решения этого уравнения совпадают с предыдущими: , и только корень принадлежит области .