Уравнения с модулем

Рассмотрим уравнение:

Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения .

Случай 1:

В этом случае . Подставим это в исходное уравнение:

Упростим выражение:

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Теперь выделим два слагаемых следующим образом:

Покажем, что сумма всегда больше нуля:

1. Рассмотрим выражение . Заметим, что для всех , поэтому достаточно исследовать знак многочлена .

Найдем дискриминант многочлена :

Поскольку дискриминант отрицателен (), многочлен не имеет действительных корней и всегда положителен (так как коэффициент при положителен). Следовательно, для всех .

2. Теперь рассмотрим выражение , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при .

Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, , всегда больше нуля для всех , кроме . Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.

Случай 2:

В этом случае . Подставим это в исходное уравнение:

Упростим выражение:

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

Заметим, что и являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:

1. Разделим на :

2. Разделим на :

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

Теперь решим уравнение :

Найдем дискриминант:

Тогда корни уравнения:

Итак, решения исходного уравнения во втором случае: , , и .