Уравнения с модулями и корнями (радикалами)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Источники:
Подсказка 1
Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля
Подсказка 2
Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?
Подсказка 3
Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!
Уравнение эквивалентно системе
![(
|{ x≥ 0[ 1 1]
|( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2)
4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x](/api/latex-service/v1/GetSession/128523/index-760256ab87934c10c7f56f5684ef92f6.svg)
В итоге получаем
![{ x∈[0;1]
−4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)](/api/latex-service/v1/GetSession/128523/index-c6ef93406d514b6ada2bf325a88452f4.svg)
Введем переменную 
. Тогда уравнение принимает вид
Решая квадратное уравнение, находим 
. С учетом неотрицательности 
, выбираем 
. В итоге получаем уравнение
для нахождения 
![4x∘1-− 4x2 = 1, x ∈[0;1]
2 2](/api/latex-service/v1/GetSession/128523/index-37367765814cfaf9e7a991bc8f2809e8.svg)
Решим это уравнение
Тогда, с учетом неотрицательности 
, находим 
. Осталось проверить условие 
Неравенство верно, значит, оба корня подходят.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
