Уравнения с целой и дробной частями
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём число полуцелым, если число — целое. Полуцелой частью числа назовём наибольшее полуцелое число, не превосходящее и будем обозначать Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Так, даны какие-то полуцелые части. Понятно, что сразу же напрашивается аналогия с целой и дробной частью. Когда мы делим число x на целую —[x], и дробную — {x} части, мы можем записать, что х=[x]+{x}, где [x] — целое число, а {x} лежит на [0,1). Здесь, чтобы облегчить себе жизнь, поступим так же и запишем подобные ограничения на полуцелую часть числа и “остаток”, который получается после ее вычитания.
Подсказка 2
Если обозначить за n/2 полуцелую часть, то можно записать, что x = n/2+r. Получаем уравнение на n и r и имеем соответствующие ограничения на эти величины. Далее нужно будет активно использовать то, в каких пределах лежит r, и вспомнить, какие приемы можно использовать в подобных задачах с целой и дробной частью.
Подсказка 3
Удобнее будет отдельно рассмотреть положительные и отрицательные n. Дальше только аккуратные преобразования, нахождение n, подстановка и нахождение r :)
Рассмотрим два случая.
1) Число — полуцелое, тогда и исходное уравнение примет вид
Корнями данного уравнения являются числа но тогда числа не являются целыми, значит решений нет.
2) Имеет место равенство
где и тогда
А также исходное уравнение примет вид
Выразим из уравнения и получим
Решения существуют только при Найдём все удовлетворяющие неравенству
Если , то и может иметь решение только лишь неравенство
которое после возведения в квадрат равносильно
Поскольку и , то — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае
Если то решений нет, так как — целое.
Если , то и может иметь решение только лишь неравенство
Поскольку и то — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!