Тема . Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76458

Назовём число x  полуцелым, если число 2x  — целое. Полуцелой частью числа x  назовём наибольшее полуцелое число, не превосходящее x,  и будем обозначать ]x[.  Решите уравнение

 2
x + 2⋅]x[= 6

Источники: Изумруд-2022, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, даны какие-то полуцелые части. Понятно, что сразу же напрашивается аналогия с целой и дробной частью. Когда мы делим число x на целую —[x], и дробную — {x} части, мы можем записать, что х=[x]+{x}, где [x] — целое число, а {x} лежит на [0,1). Здесь, чтобы облегчить себе жизнь, поступим так же и запишем подобные ограничения на полуцелую часть числа и “остаток”, который получается после ее вычитания.

Подсказка 2

Если обозначить за n/2 полуцелую часть, то можно записать, что x = n/2+r. Получаем уравнение на n и r и имеем соответствующие ограничения на эти величины. Далее нужно будет активно использовать то, в каких пределах лежит r, и вспомнить, какие приемы можно использовать в подобных задачах с целой и дробной частью.

Подсказка 3

Удобнее будет отдельно рассмотреть положительные и отрицательные n. Дальше только аккуратные преобразования, нахождение n, подстановка и нахождение r :)

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1) Число x  — полуцелое, тогда ]x[= x  и исходное уравнение примет вид

 2
x + 2x − 6 =0

Корнями данного уравнения являются числа x1,2 = −1± √7,  но тогда числа 2x1,2  не являются целыми, значит решений нет.

2) Имеет место равенство

   n
x= 2 +r,

где n ∈ℤ  и        1
0 <r < 2,  тогда

 [  n
]x = 2

А также исходное уравнение примет вид

(n   )2
 2 + r + n− 6=0

Выразим из уравнения r  и получим

r= − n± √6−-n
     2

Решения существуют только при n≤ 6.  Найдём все n,  удовлетворяющие неравенству

n< ±√6-− n-< n+-1
2            2

Если n≥ 0  , то n+-1> 0
  2  и может иметь решение только лишь неравенство

n  √ ----  n+-1
2 <  6− n < 2  ,

которое после возведения в квадрат равносильно

 2               2
n < 4(6− n)< (n +1)

{ n2+ 4n− 24 <0
  n2+ 6n− 23 >0

(|{ − 2− 2√7-< n< −2+ 2√7
  [ n >− 3+ 4√2-
|(   n <− 3− 4√2-

Поскольку         √-            √-
2< −3+ 4 2< 3,3< −2+ 2 7< 4,  и       √-       √-
− 3− 4 2< −2− 2 7  , то n =3  — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x= n + r=√6-−-n= √3
   2

Если − 1< n< 0,  то решений нет, так как n  — целое.

Если n≤ −1  , то n-+1 ≤0
  2  и может иметь решение только лишь неравенство

n2 > 4(6− n)> (n +1)2

{ n2+ 4n− 24 >0
  n2+ 6n− 23 <0

  [
(|{   n >− 2+ 2√7-
    n <− 2− 2√7-
|( − 3− 4√2-< n< −3+ 4√2

Поскольку           √-              √-
− 9< −3− 4 2< −8,−8< −2 − 2 7 <− 7,  и      √ -       √-
− 3+ 4 2< −2+ 2 7,  то n= −8  — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x = n+ r= −√6-− n =− √14
    2
Ответ:

 √3,− √14

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!