Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии → .06 Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113661

Решите неравенство

∘ --------- ∘ ----------- 2 x2− 4x+ 5+ 3x2− 12x+ 13 ≤4x− x − 2.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хмм, под корнями и в правой части мы видим квадратные трёхчлены, при этом слагаемые x² - 4x наталкивают на мысль о том, что можно выделить полный квадрат. Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

О, получилось, что обе части неравенства — это какие-то уравнения относительно (x-2). Тогда сделаем замену t=x-2 и получим неравенство гораздо проще исходного!

Подсказка 3

Рассмотрим функцию от t, которая является разностью левой и правой частей уравнения. Как она расположена относительно оси абсцисс?

Показать ответ и решение

После выделения полных квадратов, неравенство принимает вид

∘ -----2--- ∘ ------2--- 2 (x− 2) +1+ 3(x− 2) +1 ≤−(x− 2) +2

Делаем замену $t= (x− 2),$ тогда получим

∘----- ∘ ----- 2 t2+ 1+ 3t2+ 1≤ −t + 2

Рассмотрим функцию

∘-2--- ∘ -2--- 2 f(t)= t + 1+ 3t +1+ t − 2

Заметим, что функция возрастает при $t≥0$ и убывает при $t< 0,$ при этом

f(0)= √1 +√1 − 2 =0

Значит, при $t⁄= 0$ $f(t)> 0,$ а $t= 0$ нам подходит. При обратной замене получаем, что $x= 2.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32858

Решите неравенство

√---- 2 ∘ -2------- 4x +2 + 4 − x >x + x − 5x+ 2.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа под корнем есть x² и другие слагаемые, а без корня только x². Хочется добавить недостающие слагаемые, чтобы можно было сделать замену и получить в обеих частях выражение вида t + √t. Для этого давайте вычтем из обеих частей 5x и добавим 2. Что хорошее тогда можно заметить?

Подсказка 2

Теперь мы получили слева и справа похожие выражение, по сути нам нужно решить неравенство f(g(x)) > f(h(x)). Из f(a) > f(b) в общем случае не следует сразу a > b, например, для f(t) = -t. или f(t) = sin t. Но что хорошего можно сказать про нашу рассматриваемую функцию f(t) = t + √t?

Подсказка 3

Она монотонно возрастает! То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.

Подсказка 4

Теперь нужно решить полученное неравенство на аргументы, причём учесть область определения исходного неравенства.

Показать ответ и решение

Первое решение.

После переноса корней налево получаем $√ ---- √ 2-------- 2 4− x − x − 5x+ 2> x − 4x − 2$ .

Обозначив $√---- 4 − x= a$ и $√-2------- x − 5x+ 2= b$ , получаем неравенство $2 2 a− b >b − a ⇐ ⇒ (a− b)(1+ a+b)> 0$ .

Так как $1+ a+ b≥1 >0$ , то остаётся решить $a− b> 0$ , то есть $√---- √-2------- 4− x> x − 5x+2$ . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

4− x> x2− 5x +2 ≥0

Первое неравенство равносильно

2 √ - √- x − 4x − 2< 0 ⇐⇒ x∈ (2− 6;2+ 6),

а второе

5−-√17 5-+√17- x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что $√- 5−√17 2− 6< 2 ,$ так как $√- √-- 4− 2 6< 5− 17$ , потому что $√-- √ - √ - 17< 5= 1+ 2 4< 1+ 2 6$ .

А вот $√- 5+√17 2+ 6 < -2---$ , так как $√- √-- 4 +2 6 <5+ 17$ , потому что $√- √-- √ -- √ -- √-- 2 6= 24 < 25 =1 + 16 <1+ 17$ .

В итоге при пересечении получаем $√ -5−√17 x∈ (2− 6;--2--]$ .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

√ ---- 2 ∘-2------- 4− x+ 4− x> x − 5x+ 2+ x − 5x+ 2.

Заметим, что функция $f(t)= t2+t= t⋅(t+ 1)$ монотонно возрастает при $t≥ 0$ . Поэтому неравенство $f(√4-−-x) >f(√x2−-5x+-2)$ равносильно неравенству $√4−-x> √x2−-5x+2-$ . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

(|{ 4− x> x2− 5x +2, 4− x≥ 0 ⇐ ⇒ |( x2− 5x+ 2≥0

{ x2− 4x− 2< 0, x2− 5x+ 2≥0

Так же, как и в первом решении, получаем

√-- x∈(2− √6;5−--17] 2

Ответ:

$(2 − √6;5−√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70342

Решите неравенство

√ ---- x+ 1− 1 ≤−x|x− 2|− 4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишем ОДЗ: x ≥ -1. Видим модуль. Как мы обычно справляемся с модулями?

Подсказка 2

Верно! Рассматриваем случаи. Случай -1 ≤ x ≤ 2 достаточно интересный. Возводить в квадрат — так себе идея. Что же можно сделать ещё?

Подсказка 3

Запомните идею: если одна функция возрастает на промежутке, а другая убывает, то на этом промежутке у них не более одного пересечения. Как применить, поймите самостоятельно.

Подсказка 4

Теперь второй случай x ≥ 2. Ну здесь всё совсем просто, достаточно понять знаки выражений. Успехов!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −1.$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае $− 1 ≤x <2 :$

√ ---- 2 2 x+ 1≤ x − 6x+ 1= (x− 3) − 8

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при $x= 0,$ поэтому неравенство выполняется при $− 1 ≤x ≤0.$

Во втором случае $x ≥2:$

√ ---- 2 x+1 ≤− x − 2x+ 1

При $x≥ 2$ выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.

Ответ:

$[−1;0]$

Предыдущая подтема

Следующая подтема