Неравенства без логарифмов и тригонометрии → .01 Сравнение чисел

Расстояние между двумя числами это модуль их разности.

Значит, ближе.

Левая часть это десять раз. А правая часть это:

Тогда сравним .

(Заменили каждый множитель на )

Тогда можно сказать, что правая часть больше левой.

Разобьём множители в левой части на пары: и , и , и т.д. В общем виде: и . Сравним: . Таким образом, произведение в каждой паре меньше , значит, правая часть будет больше.

В данном случае очень удобно сравнить оба числа с миллионом. Выполнены неравенства

поэтому правая часть больше.

Заметим, что . Тогда

Заметим, что

Заметим, что . Применив к обеим частям неравенства 99 раз операцию “факториал”, получаем требуемое неравенство.

Поскольку , то .

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя , тогда нам требуется сравнить и , или, что то же самое, и . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда , откуда первое число больше.

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

Далее возведём в квадрат

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Заметим, что Поэтому

Перемножив и сократив дроби, получим С другой стороны, поскольку то

Наибольший корень уравнения равен ( по обратной теореме Виета числа и являются корнями уравнения

Обозначим

Отметим, что Тогда имеем:

Получается, что число является одним из корней уравнения

которое равносильно

Так как не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является

В итоге

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

Первое решение.

Мы знаем, что . Давайте посчитаем приближения для маленьких и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что . Теперь давайте посмотрим на и найдем такое , чтобы это число было близко к 1. Получим . Повторим эту операцию еще раз уже для . Тогда при мы получаем . Значит,

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что . Давайте найдем такие положительные и , что и . Их можно таким способом. Начнем с . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим (, ) на ( и ). Тогда и первое условие остается выполненным, а увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных .

Значит, при и мы знаем, что (так как знак постоянно меняется) и . Значит,

Возведём обе части в квадрат:

И ещё раз в квадрат:

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

Возведём обе части в 6-ую степень:

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Покажем, что Перепишем это неравенство как что верно. Аналогично можно доказать и вторую часть неравенства.

Квадратное уравнение имеет корни и (сумма этих двух чисел равна , а произведение , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как то Это число меньше, чем поэтому

Посчитаем квадрат разности корней

В итоге сама разность корней и она больше, чем наименьший корень уравнения .

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

Заметим, что и Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак