Тема . Классические неравенства

Оценки в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127835

Докажите, что при всех натуральных $n$

-1 2- --n--- 2! + 3! + ...+ (n +1)! ≤1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выпишем первые слагаемые:

Подсказка 2

Есть довольно популярный способ работы с суммами — телескопирование, может оно сработает здесь? Для этого стоит поискать подходящее представление члена ряда, например в виде разности.

Подсказка 3

k/(k+1)! = 1/k! − 1/(k+1)!. Чему в таком случае равна исходная сумма? Почему она меньше 1?

Показать доказательство

Преобразуем общий член суммы:

--k--- (k+-1)−-1 -k+-1- --1--- 1- --1--- (k+ 1)! = (k +1)! = (k+1)! − (k +1)! = k! − (k+ 1)!.

Докажем по индукции, что

n Sn = ∑ --k---= 1− --1--- k=1(k +1)! (n +1)!

для всех $n ∈ℕ.$

База индукции: $n = 1$

1 1 1 1 1 S1 = 2!-= 2, 1− 2! = 1− 2 = 2.

Индукционное предположение: пусть для $n =m$ верно:

Sm = 1− --1---. (m+ 1)!

Индукционный переход: докажем для $n =m + 1:$

Sm+1 = Sm + m-+-1-. (m + 2)!

Преобразуем добавленный член:

-m+-1-= ---1-- − --1---. (m + 2)! (m +1)! (m + 2)!

Подставляем индукционное предположение:

( 1 ) ( 1 1 ) 1 Sm+1 = 1− (m-+-1)! + (m-+1)! − (m-+-2)! = 1− (m-+2)!.

По принципу математической индукции,

Sn = 1−--1--- ∀n∈ ℕ. (n +1)!

Поскольку $--1--> 0 (n+1)!$ для всех натуральных $n,$ получаем:

---1-- Sn =1 −(n+ 1)! <1,

а значит, и $Sn ≤1,$ что и требовалось доказать.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse