Оценки в классических неравенствах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны положительные числа 
Известно, что
Докажите, что
Подсказка 1
Попробуем усилить утверждение: вместо доказательства исходного докажем более сильное неравенство, связывающее произведение и частичную сумму Sₖ = a₁+...+aₖ.
Подсказка 2
Рассмотрим индукцию по k (количеству множителей). Какое соотношение между Pₖ = (1+a₁)...(1+aₖ) и Sₖ может сохраняться на каждом шаге? Также оно должно решить задачу при k = n.
Подсказка 3
По условию имеем Sₙ ≤ 1/2. В крайнем случае 2Sₙ + 1 = 2. Тогда для решения исходной задачи подойдет соотношение Pₙ < 1 + 2Sₙ. Можно ли распространить его на все k ≤ n?
Докажем индукцией по 
что для всех 
от 
до 
База 
Шаг индукции: пусть для 
неравенство верно:
Тогда для 
Таким образом, неравенство доказано для всех натуральных 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
