Оценки в классических неравенствах

Подсказка 1

Для начала, давайте попробуем понять какой ответ, хотя бы на пальцах. Если мы увеличиваем х, то увеличивается значение, которое зависит от х, и в числителе, и в знаменателе, но при этом в числителе у нас степень функции больше трех, то есть, при х > 1 у нас числитель растет быстрее чем знаменатель. Все, что меньше единицы не очень понятно, но если мы верим в светлое будущее(то есть верим, что ответ достигается при х > 1) то нам надо посмотреть, чему равно значение дроби на всех двойках. И мы получим предполагаемый ответ. Теперь, когда мы знаем(а вернее - верим) в каких точках достигается ответ, то можно попробовать оценить как-то слагаемое в числителе, чтобы степень получившегося многочлена была равна 2(чтобы вероятно сократить с знаменателем), и при этом наша оценка достигалась именно в точке 2.

Подсказка 2

Корень можно оценить как <=2, так как х<=2(как раз в этой точке и достигается равенство). Второй множитель тогда можно оценить через 2х^2 - 6(опять же, равенство достигается в точке 2). Тогда, всю дробь можно оценить через (4(x^2 + y^2 + z^2) - 36)/(x^2 + y^2 + z^2). Ну а это уже достаточно легко оценить, зная, что все переменные меньше или равны 2.

Подсказка 3

Верно, выходит дробь 4 - 36/(x^2 + y^2 + z^2) <= 4 - 36/12 = 1. То есть, у нас есть оценка на дробь и при этом, мы так проводили неравенства, что каждое равенство в них достигалось в точке, в которой достигается итоговая оценка. Значит, у нас точно есть пример в котором это неравенство достигается. Запомните эту очень важную мысль, если у вас уже есть ответ и вы знаете в каких точках достигается равенство, то можно попробовать оценивать некоторые выражения, которые у вас есть так, чтобы равенство достигалось именно в той точке, где достигается равенство в изначальном выражении. Этот метод часто встречается на олимпиадах ИТМО, СПбГУ и других.