Оценки в классических неравенствах

Подсказка 1

Положительность х и у, скорее всего, нужна для перемножения без смены знака, а вот ограниченность единицей — это удобно, поскольку мы заключаем, что 1-x и 1-y также лежат от 0 до 1. Попробуйте применить полученные наблюдения.

Подсказка 2

Первое, что разумно сделать — это равноправно (в смысле принадлежности отрезку) заменить (1-x) на а, а (1-y) на b. Тогда упростится неравенство, которое надо доказать и, более того, также останутся верными факты про то, что и ab ≥ 0 и 1 + ab ≥ a + b (как очевидное следствие (1 - a)(1 - b) ≥ 0). Судя по двум последним неравенствам, нам надо как-то оценить дробь. Ну а значит, оценить либо числитель, либо знаменатель.

Подсказка 3

Числитель можно оценить как a + b - ab. Теперь уже у нас уже при домножении на знаменатель обе части уравнения зависят от суммы и произведения a и b, без свободных коэффициентов. После преобразования получим неравенство (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab. Единственное, что здесь не нравится нам — это ab + 1, так как опять же свободный коэффициент. Давайте тогда оценим как-то ab + 1.