Тема . Классические неравенства

Оценки в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82260

Среди чисел 1,2,...,5n  выбрали 4n+ 2  различных числа. Докажите, что найдутся три выбранных числа a< b< c  такие, что 3b< 2a+ c.

Показать доказательство

Предположим, что существуют 4n+ 2  целых неотрицательных чисел x < x < ...< x
 0   1       4n+1  таких, что среди них не найдутся три числа a< b<c  такие, что 3b< 2a +c.  Тогда, в частности, x4n+1+ 2xi ≤ 3xi+1  для всех i∈{0,...,4n− 1},  следовательно,

          3
x4n+1− xi ≥2 (x4n+1− xi+1)

Индукцией несложно доказать неравенство

          ( )4n−i
x4n+1 − xi ≥ 3    (x4n+1− x4n)
           2

что при i= 0  приводит к противоречию

          (3)4n             (81)n             n
x4n+1− x0 ≥ 2   (x4n+1 − x4n)= 16  (x4n+1 − x4n)> 5 ⋅1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!