Оценки в классических неравенствах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых различных положительных чисел 
из отрезков с длинами
можно составить треугольник.
Подсказка 1
Можно считать, что a является наибольшим числом, а c — наименьшим. Тогда достаточно доказать неравенство треугольника, в котором корень с разностью (c-a) меньше суммы двух других корней из условия. А как это сделать?
Подсказка 2
Заметим, что сумма корней кубических из (a-b)³ и (b-c)³ равна a-c, а это корень кубический из (a-c)³. А как из этих выражений получить исходные?
Подсказка 3
Верно! Надо умножить их на подходящую дробь (a+b)/(a-b), (b+c)/(b-c) или (a+c)/(a-c). Каждая из этих дробей больше 1, значит, каждое число увеличивается. А можно ли сказать что-то о том, как эти дроби упорядочены?
Подсказка 4
Верно! (a+c)/(a-c) является наименьшей. Какой вывод можно сделать?
Не умаляя общности, пусть 
— наибольшее число, а 
— наименьшее число. Тогда понятно, что из трех выражений 
—
наибольшее. То есть достаточно доказать неравенство
Заметим, что
Чтобы из последних выражений получить исходные, достаточно умножить подкоренные выражения на
Поскольку среди чисел 
и 
получаем, что подкоренное выражение справа увеличилось в наименьшее
число раз, а значит, исходное неравенство доказано.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
