Тема . Классические неравенства

Оценки в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91907

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $a +b+ c= 1$ . Докажите неравенство

-ab- -bc- -ac- 1 1+ c + 1+ a + 1+ b ≤ 4.

Показать доказательство

Докажем, что

--4- 1 1 x +y ≤ x + y

для положительных $x,y$ . Домножив на произведение знаменателей, получаем верное при всех значениях неравенство

4xy ≤ x2+y2+ 2xy.

Теперь с помощью доказанного напишем цепочку неравенств

4ab 4bc 4ac a+-b+c+-c + a+-b+-c+a-+ a+-b+c+-b ≤ -ab- -ab- -bc- -bc- -ac-- -ac-- ≤ a+ c + b+ c + b+a + a+ c + b+c + b+a

Соберём пары слагаемых с одинаковыми знаменателями и получим

Перегруппировав слагаемые, получаем

ab+bc ab+ ac bc+ ca a-+c-+ -b+-c-+ b+-a-= b+ a+c =1.

То есть мы получили

( ) 4⋅ -ab-+ -bc-+ -ac- ≤ 1, 1+ c 1+ a 1+ b

откуда минимум искомого выражения равен $1. 4$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse