Тема Тригонометрия

Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83950

Решите уравнение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

Показать ответ и решение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

⌊ ( | { 1+2( sinx=) 0 || ( cos x+ π ≥0 |⌈ ( π)4 cos x+ 4 = 0

Решим сначала первый случай

1 +2sin x= 0

⌊ π 1 | x= −6 + 2πk sin x= −2 ⇔ |⌈ 5π , k∈ ℤ x= − 6 +2πk

Проверим условие из системы

( ) ( ) cos − π +2πk+ π =cos π- > 0 6 4 12

( ) ( ) cos − 5π-+ 2πk + π = cos − 7π < 0 6 4 12

Следовательно, в этом случае подходит только $x =− π+ 2πk, k∈ ℤ. 6$

Теперь решим второй случай

( π) cos x+ 4 = 0

π π x+ 4 = 2 + πk, k∈ ℤ

π x= 4 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,π +πk, k∈ℤ 6 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#84837

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84839

Решите уравнение

cos4xcos5x = cos6xcos7x

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем

1 1 2(cos9x+ cosx)= 2(cos13x+ cosx)

cos13x − cos9x= 0

По формуле разности косинусов получаем

− 2sin11xsin2x= 0

[ sin11x= 0 sin2x= 0

[ x= π1k1, k∈ ℤ x= π2k, k∈ ℤ

Ответ:

$πk ;πk; k∈ ℤ 11 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85341

Решите уравнение

1− sinx= cosx − sin2x

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

1− sinx= cosx − 2sin xcosx

На скобки разложить пока не получается, поэтому распишем $1$ по основному тригонометрическому тождеству и получим

2 2 sin x+ cos x+ 2sinxcosx− sinx− cosx =0

(sinx+ cosx)2− (sinx +cosx)=0

[ sinx +cosx= 0 sinx +cosx= 1

Если $cosx =0$ , то $sinx± 1$ , поэтому эта серия не является решением первого уравнения. Поэтому поделив его на $cosx ⁄= 0$ , получим $tgx =− 1$ , что равносильно $x = 3π4-+πk, k∈ℤ$

Второе уравнения возведем в квадрат

sin2x+ cos2x+ 2sinx cosx= 1

cosxsinx = 0 ⇐ ⇒ sin2x= 0

πn x= 2 , n∈ ℤ

Но возведение в квадрат — не равносильное преобразование, поэтому проверим полученные решения.

⌊ | x= 2ππn ||| x= 2 +2πn ⌈ x= π3+π 2πn x= -2 + 2πn

Из полученных серий только $π x= 2 +2πn$ и $x= 2πn$ удовлетворяют исходному $sinx+ cosx =1.$

Ответ:

$π + 2πn; 2πn; 3π+ πn, n ∈ℤ 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85345

Решите уравнение

√ - 2 x 2 √ - 2 3sin 2 +2= 2sin x + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим квадратное уравнение на синус, только вот у него неудобные коэффициенты у аргумента из-за чего не получается сделать замену, но x/2 это половина x, что наталкивает на формулы, которые помогут исправить наше уравнение.

Подсказка 2

Да, можно же понизить степень, вылезет косинус, но так как у нас остался ещё синус в квадрате, то не составит труда и его заменить на косинус, и у нас наконец получится квадратное уравнение на косинус, которое легко решается.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла

2 x cosx= 1− 2sin 2

x 1− cosx sin22 = --2----

Поэтому исходное равенство можно записать в виде

2√3⋅ 1-− cosx+ 2= 2(1− cos2x)+ √3 2

−√3cosx= −2cos2x

cosx(2cosx− √3)= 0

[ cosx =0√- cosx = 23

[ π x = 2 +π πn,n ∈ℤ x =± 6 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ±π +2πk,k∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85551

Решите уравнение

2 36cos(x+ cosx)cos(x− cosx)+ 9= π

и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $[π;7π] 3 4$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?

Подсказка 2

Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?

Подсказка 3

Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!

Подсказка 4

Какой является эта функция и где она монотонна?

Подсказка 5

Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?

Показать ответ и решение

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

π2 1 cos2x+ cos(2cosx)= 18 − 2

Пусть $t=cosx$ , тогда левая часть уравнения равна $2 f(t)= 2t − 1+ cos2t$ . Функция $f$ возрастает на $[0;1]$ (так как $′ f (t)= 2(2t− sin2t$ ) >0 при $t>0$ ) и является чётной, причём $(π) π2 1 f 6 = 18 − 2$ . Следовательно, корнями уравнения $π2 1 f(t)= 18 − 2$ на отрезке $[−1;1]$ являются числа $π t= ±6$ . Возвращаясь к переменной $x$ , находим

π x= ±arccos6 +πn,n∈ Z

Так как

√ - π = arccos--2< arccosπ< arccos1= π , 4 2 6 2 3

то на указанный отрезок попадают корни $π−$ $arccosπ,π+ arccosπ 6 6$ и $2π− arccos π 6$ . Их сумма равна $4π− arccosπ 6$ .

Ответ:

$x =± arccosπ+ πn,n ∈Z 6$ .

Сумма корней равна $π 4π − arccos6.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#86451

Решите уравнение

√- x sinx =− 3cos2

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

x x √ - x 2sin 2 cos2 = − 3cos 2

Ни в коем случае нельзя сокращать на косинус, надо рассмотреть два случая:

[ x cos2x = 0√3 sin 2 = −-2

Решения первого уравнения $x= π+ 2πk,k ∈ℤ$ , а второго — $8π 10π x= 3 + 4πk,k ∈ℤ;x= 3 + 4πk,k∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πk;8π+ 4πk;10π+ 4πk; k∈ ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88167

Решите уравнение

5+ 2sin2x− 5cosx = 4sinx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В формуле у нас почти везде участвует просто синус или косинус. Что тогда можно сделать с синусом двойного угла?

Показать ответ и решение

Применяя формулу двойного угла для синуса, получаем

5 +4sinx cosx− 5cosx − 4sinx= 0

5(1− cosx)− 4sin x(1− cosx)= 0

(1− cosx)(5− 4sinx)= 0

⌊ cosx= 1 ⌈ sinx = 5-нет решений 4

Итого, $x= 2πk, k∈ ℤ$

Ответ:

$2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90015

Решите уравнение

cos3x-+sin5x- cosx+ sin3x = −1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ. Но как обойтись с синусом тройного угла?

Подсказка 2

Формулы приведения помогут нам сделать синус из cos(x). А потом можно применить формулу преобразования суммы триг. функций в произведение.

Подсказка 3

С ОДЗ разобрались! Теперь умножим левую и правую части на cos(x) + sin(3x) ≠ 0. Что дальше можно сделать, чтобы упростить выражение?

Подсказка 4

Применим формулы преобразования суммы в произведение, после чего сразу можно будет вынести за скобки общий множитель. Что тут ещё можно сделать?

Подсказка 5

Попробуем раскрыть sin(4x) по формуле двойного угла — так у нас появится ещё один общий множитель: cos(2x). Осталось совсем немного и задача убита!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(π ) cosx +sin 3x ⁄= 0 ⇐ ⇒ sin 2 − x + sin3x⁄= 0

( π+ 2x) (π− 8x) ( π) (π ) 2sin --4-- cos --4-- ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x + 4 cos 4 − 2x ⁄= 0 =⇒

( |{ x ⁄= 3π4-+πk, k∈ ℤ | ( x ⁄= 3π8-+ π2k, k∈ ℤ

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

cos3x+ sin5x= − cosx− sin3x ⇐⇒ 2cosxcos2x= −2sin4xcosx

cosx(cos2x+ sin4x)=0 ⇐ ⇒ cosx(cos2x+2sin2xcos2x)= 0

⌊ | cosx= 0 cosxcos2x(1+2sin 2x)= 0 ⇐⇒ ⌈ cos2x =0 sin2x =− 12

⌊ π | x= 2 + πn, n ∈ℤ ||| x= π+ πn, n∈ℤ || 4 2 ||| x= − π-+ πn, n∈ ℤ |⌈ 12 x= − 51π2 + πn, n ∈ℤ

После пересечения с ОДЗ исключается серия $x= 3π4 + πk(k ∈ℤ),$ а подходящие серии $π4 + πn,− π12 + πn,− 5π12 + πn(n ∈ℤ)$ можно объединить в $π4 + πn3 (n∈ ℤ).$

Ответ:

$π + πn; π + πn, n∈ ℤ 2 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90407

Решите уравнение

√3 1 sin11x+ -2-sin7x+ 2cos7x= 0.

Показать ответ и решение

Вспомним, что

π 1 π √3 sin6 = 2, cos 6 =-2-

Тогда преобразуем равенство из условия:

sin11x +cosπsin 7x +sin πcos7x= 0 6 6

sin11x +sin(7x+ π)= 0 6

Применим формулу суммы синусов:

2sin(9x+ π-)cos(2x− -π)= 0 12 12

[ 9x+ π12 = πk,k ∈ℤ 2x− π12 = π2 + πk,k∈ ℤ

[ π πk x= −7π108 +πk-9 ,k∈ ℤ x= 24 +-2 ,k∈ ℤ

Ответ:

$x =−-π-+ πk,7π+ πk (k ∈ℤ) 108 9 24 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91148

Решите уравнение

cos3x− cos2x= sin3x

Показать ответ и решение

cos(3x)− sin(3x)= cos(2x)

Воспользуемся формулой косинуса и синуса тройного угла, а так же косинусом суммы

3 3 2 2 4cosx− 3cosx+ 4sin x− 3sinx= cos x− sin x

4(cosx+sinx)(1− cosxsin x)− 3(cosx+ sinx)= (cosx− sinx)(cosx+sinx)

⌊ cosx+ sinx= 0 ⌈ 1− 4cosxsinx= cosx − sin x

Рассмотрим первое уравнение

cosx+ sinx =0

√ - ( π ) 2cos x −4 = 0

x− π = π+ πk, k∈ ℤ 4 2

x = 3π-+ πk, k∈ ℤ 4

Теперь рассмотрим второе уравнение

1− 2sin(2x)= cosx− sinx

Заметим, что $sin(2x)=1 − (cosx− sinx)2$

1− 2(1− (cosx− sinx)2)=cosx− sinx

Сделаем замену $t= cosx− sinx :$

2t2− t− 1= 0

(t− 1)(2t+ 1)= 0

⌊ | t= 1 ⌈ t= − 1 2

Сделаем обратную замену:

⌊ | cosx− sinx= 1 ⌈ 1 cosx− sinx= −2

⌊ ( π) 1 | cos x+ 4 = √2- |⌈ ( π) 1 cos x+ 4 = −2√2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k∈ ℤ || π 7π ||| x+ 4 = 4-+ 2πk, k∈ ℤ || π ( -1-) ||| x+ 4 = arccos − 2√2 +2πk, k ∈ℤ |⌈ π ( 1 ) x+ 4 = − arccos −2√2 + 2πk, k∈ ℤ

⌊ x =2πk, k ∈ℤ || 3π ||| x =-2 +2πk, k ∈ℤ || ( 1 ) π ||| x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( ) x =− arccos −-1√- − π4 + 2πk, k∈ ℤ 2 2

В итоге окончательным ответом будет

⌊ x = 3π +πk, k∈ℤ ||| 4 || x =2πk, k ∈ℤ ||| 3π || x = 2 +2πk, k ∈ℤ ||| ( -1-) π || x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( -1-) π x =− arccos −2√2 − 4 + 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$3π +πk,2πk,3π+ 2πk,arccos(−-1√-)− π +2πk,− arccos(−-1√-)− π +2πk, k∈ ℤ 4 2 2 2 4 2 2 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91955

Решите уравнение

-tg-3x-+tgx- 1+ tg3xtgx = tg 4xtg2x

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь давайте запишем ОДЗ. Вообще нам гораздо привычнее работать с синусами и косинусами, нежели с тангенсами, поэтому давайте распишем все имеющиеся здесь тангенсы и попробуем преобразовать уравнение

Подсказка 2

Если воспользоваться формулами синуса суммы и косинуса разности, уравнение примет очень даже приятный вид, и решить его будет уже совсем не трудно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ

(| π (|| cosx⁄= 0 ||||| x⁄= 2 +πn ||||{ cos2x ⁄= 0 ||||{ x⁄= π + πn cos3x ⁄= 0 =⇒ 4π π2n ||||| cos4x ⁄= 0 ||||| x⁄= 6 +-3 |( 1+ tg3xtgx ⁄= 0 ||||| π πn ( x⁄= 8 +-4 , n∈ ℤ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на $cos3x cosx:$

(sin3x sinx) cos3xcosx⋅(cos3sxin +3xcsosinxx)-= sin3xcosx-+sin-xcos3x-= sin(3x+-x)= sin-4x cos3xcosx⋅1+ cos3xcosx cos3xcosx+sin3xsinx cos(3x− x) cos2x

Тогда получаем следующее

-tg-3x-+tgx- sin4x 1+ tg3xtg x = tg 4x tg2x ⇐⇒ cos2x − tg4xtg2x= 0

sin-4x- sin4xsin2x- sin4x( -sin2x) cos2x − cos4xcos2x = 0 =⇒ cos2x 1 −cos4x = 0

sin 4x(cos4x− sin2x) ----cos2xcos4x----= 0

Тогда получаем, что

[ sin4x(cos4x− sin2x)=0 =⇒ sin4x= 0 cos4x− sin2x= 0

⌊ πl | x= -4 , l∈ ℤ ⌈ 2 1− 2sin 2x− sin2x= 0

Решим последнее уравнение:

2 t= sin2x, =⇒ 1− 2t− t= 0

⌊ t= −1 =⇒ sin2x= −1 |⌈ t= 1 =⇒ sin2x= 1 2 2

Тогда получаем следующую серию

⌊ x= πl || 4 ||| x= 3π+ πl || 4 ||| x= π-+ πl |⌈ 152π x= 12 + πl, l∈ℤ

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

tg4x= tg(3x+ x) =-tg3x+tgx- 1 − tg3xtgx

Сначала запишем ОДЗ:

( ||| 1+ tg 3x tgx ⁄=0 |||{ cos4x ⁄=0 | cos2x ⁄=0 ||||| cosx ⁄= 0 ( cos3x ⁄=0

По формуле тангенса разности

tg2x= tg(3x− x) =-tg3x− tgx 1 +tg3xtgx

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

-tg3x-+tgx-= -tg3x+-tgx-tg3x−-tgx-- 1+ tg3xtgx 1− tg3xtgx 1+tg3xtgx

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда $tg3x+tgx =0.$ Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению $tg3x =tg(− x).$ А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное $π.$ То есть $3x= −x +πt,t∈ ℤ.$ Таким образом, $π x = 4t.$ После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим $x= πt1.$ Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать $t$ в виде $t= n1+ 4πt1,$ где $t1 ∈ℤ$ и $n1 ∈{0,1,2,3}.$

Перейдем к случаю $tg3x +tgx⁄= 0.$ В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

-tg3x-− tgx 1 − tg3xtgx = 1

Теперь необходимо дополнительно учесть, что $1− tg3xtgx ⁄=0.$ Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

tg 3x − tgx= 1− tg 3x tgx

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

(1+tgx)(1− tg3x) =0

Тогда $tgx = −1$ или $tg3x =1.$ Таким образом, $3π x= 4 + πk$ или $π- π x = 12 + 3n,$ $n,k ∈ℤ.$

$3π x= 4 + πk$ не подходит по ОДЗ, поскольку $3π- cos(24 +πk)= 0.$

$π- π x= 12 + 3n$ тоже можно проверить, представив $n$ в виде $n =d+ 3l,$ где $l∈ ℤ$ и $d= 0,1,2.$ Тогда получится, что при $d =2$ этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: $-π x= 12 + πl$ или $5π- x = 12 +πl,l∈ℤ.$

Ответ:

$πl, π-+ πl,5π+ πl,l∈ ℤ 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92115

Решите уравнение $2sin3 x= cos3x$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении присутствует косинус тройного угла, как можно его преобразовать?

Подсказка 2

Распишем его по формуле cos(3x) = 4*(cos(x))³ - 3*cos(x). Теперь у нас и справа, и слева имеется третья степень, и нам хотелось бы её уменьшить, но как это сделать?

Подсказка 3

Поделим обе части на (cos(x))³ . Сейчас в нашем уравнении присутствует тангенс и деление на (cos(x))², но нет ли у нас какой-нибудь формулы, которая их связывает?

Подсказка 4

1/(cos(x))² = 1 + (tg(x))². Имеем уравнение третьей степени от tg(x), с одной стороны которого стоит 0, на что это намекает?

Подсказка 5

Разложите многочлен третьей степени на множители!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx.$ Заметим, что $cosx ⁄= 0,$ так как в противном случае, по основному тригонометрическому свойству $sin x⁄= 0,$ что противоречит равенству. Значит, мы можем поделить на ненулевое число $3 cos x:$

3 3 2 tg x= 4− cos2x-

Воспользуемся следующей формулой:

1 cos2x-= 1+ tg2x

Имеем:

2tg3x= 4− 3− 3tg2x

Пусть $t=tgx.$ Тогда:

2t3+ 3t2− 1= 0

Заметим, что $t= −1$ — решение этого уравнение, значит можно разделить на $t+ 1.$ Получим:

(t+ 1)2(2t− 1)= 0

Тогда $tgx = −1$ или $tgx = 12.$ Откуда получаем ответ

− π4 + πn,arctg 12 + πn, n ∈ℤ.

Ответ:

$− π + πn,arctg 1 +πn, n ∈ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64604

Решите уравнение

4 x 4 x sin2x= cos 2 − sin 2.

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов получаем

( 2 x 2 x)( 2 x 2 x) sin2x= cos 2 + sin 2 cos 2 − sin 2 ⇔ 2sinx⋅cosx= cosx⇔

$π ⇔ x= 2 +πn,n ∈ℤ$ или $n π x= (−1) 6 + πn,n ∈ℤ$

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn,n∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#67951

Решите уравнение

√- √- 2( π ) 1− 2 cosx(sinx+ 2cosx)+ 2sinx(2sinx − cosx) =2sin x + 8

Источники: ПВГ-2023, 10.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа внутри синуса есть какой-то π/8, что не очень приятный угол, а еще там сам синус в квадрате. Чем можно воспользоваться в таком случае?)

Подсказка 2

Например, формулой понижения степени! Тогда там появится 1-cos(2x+π/4), что уже лучше. Раз мы тут преобразовали к двойному углу, то может слева так тоже выйдет?

Подсказка 3

Если раскрыть скобки в левой части, то получится 2√2(sin²x-cos²x) - 2√2sinx⋅cosx, что очень хорошо раскладывается на двойные углы) Осталось достаточно приятное уравнение, которое не доставит вам проблем)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки и в правой части воспользуемся формулой понижения степени:

√- √- 2 √ - 2 √- ( π) 1− 2cosxsinx− 2 2cosx +2 2sin x− 2sinxcosx= 1− cos 2x+ 4 ;

√- √- 1 1 2 2(sin2x− cos2x)− 2 2 sinxcosx = −√2-cos(2x)+ √2-sin(2x);

Домножим на $√ - (− 2)$ и выделим формулы двойных углов:

4cos(2x)+ 2sin(2x) =cos(2x)− sin(2x);

sin(2x)=− cos(2x);

Если $cos(2x)= 0,$ то получим, что $sin(2x)=0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, можно поделить на $cos(2x),$ имеем:

tg (2x)= −1.

Откуда $x= − π8 + πn2 ,n ∈ℤ$

Ответ:

$− π + πn,n ∈ℤ 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#70336

Найдите все корни уравнения

( 2 ) ( 4 2 ) 8x⋅2x − 1 ⋅8x − 8x +1 = 1,

удовлетворяющие условию $0< x< 1$ .

Показать ответ и решение

Ограничения на $x$ намекают на замену $x= cosα, α∈ (0;π) 2$

По формуле двойного и половинного угла

( 2 ) 8 cosα⋅ 2cosα − 1 = 8cosα⋅cos2α;

4 2 2 8cos α− 8cos α+ 1= 2cos 2α+ 4cos2α +2− 4cos2α − 4 +1=

=2cos22α− 1= cos4α;

Тогда исходное равенства примет вид

8cosα⋅cos2α ⋅cos4α= 1

Домножим на $sinα ⁄=0$

8cosα ⋅sinα⋅cos2α ⋅cos4α= sinα

4sin2α⋅cos2α ⋅cos4α= sinα

2 sin4α⋅cos4α =sinα

sin8α= sinα

7α 9α 2sin 2 ⋅cos2 = 0

[ 7α 92α =πkπ 2 = 2 + πn

Ввиду ограничения $0< α< π 2$ получаем

⌊ α = 2π- ⌊ x =cos2π |⌈ α = 7π =⇒ |⌈ x =cosπ7 α = 9π x =cos9π = 1 3 3 2

Ответ:

$1; cos2π; cosπ 2 7 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88918

а) Решите уравнение $cosx⋅cos2x= √2 sin2x+ cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Что сразу бросается в глаза? Попробуйте это сделать

Пункт а, подсказка 2

Верно! Косинус двойного угла (удобно воспользоваться cos 2x = 1 - 2(sin x)^2). Приводим подобные слагаемые. Что дальше можно сделать?

Пункт а, подсказка 3

Выносим общий множитель! Произведение равно 0, а такое мы много раз решали

Пункт б, подсказка 1

Отбираем корни удобным для вас способом (через двойное неравенство или тригонометрическую окружность)

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 1− 2sin2x$ и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √2 sin2x+ cosx √ - 2 2 2sin x( +2 sin xco)sx= 0 sin2x √ 2+ 2cosx = 0

Отсюда получаем

⌊ ⌊ sin x= 0; x= πk; |⌈ √- ⇔ |⌈ где k ∈ℤ cosx= − -2, x= ± 3π+ 2πk, 2 4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$−−−−− 52 3 5πππππ+ 2πk 244$

Таким образом, подходят корни $− 2π;$ $5π − 4 ;$ $− π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 3π +2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− 2π;$ $5π − 4-;$ $− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#89777

Решите уравнение

tg-2x-+2cosx tg 2x − 2cosx = 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите ОДЗ. Чтобы сократить себе труд по решению уравнения "знаменатель = 0", попробуйте записать двойное равенство: "знаменатель" = "числитель" = 0. Сделайте из этого вывод: в каком случае у числителя и знаменателя есть общие корни, то есть какие из корней числителя не подходит под ОДЗ?

Подсказка 2

Приравняем к нолю числитель: тангенс двойного угла можно записать как отношение синуса к косинусу. После этого приведите выражение к общему знаменателю.

Подсказка 3

Распишите синус двойного угла по известной формуле, тогда можно будет вынести общий множитель, какой он?

Подсказка 4

В скобках осталось выражение, зависящее от sin(x) и от двойного угла, что с ним ещё можно сделать? Попробуйте раскрыть синус двойного угла по формуле!

Подсказка 5

Осталось приравнять к нулю получившиеся множители, проверить их на соответствие ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Выражения $tg 2x +2cosx$ и $tg2x − 2cosx$ отличаются на $4cosx$ , стало быть, если они одновременно равны нулю, то $cosx= 0$ . Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $tg2x+$ $2cosx$ , из которого исключены нули $cosx$ . Преобразуем это выражение:

2cosx(sinx +cos2x) tg2x +2cosx= ------cos2x----- =

( 2 ) ( 1) = −2cosx-2sin-x−-sinx−-1-= −4cosx(sinx−-1)-sinx-+2-. cos2x cos2x

Если $sinx =1$ , то $cosx= 0$ , стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $sinx+ 12$ , из которого исключены нули $cos2x$ . Ho $sin x+ 12$ и $cos2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $sinx= − 12$ , то $cos2x= 1− 2sin2x= 12$ . Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $sinx =− 12$ . То есть $x= (−1)k π6+$ $(k+ 1)π,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(−1)kπ+ π(k +1), k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90037

Решите уравнение

cosx−-cos3x- 2cos2x+ cosx+ cos3x = 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сделать с суммой и разностью косинусов во втором слагаемом? Попробуйте применить формулы преобразования суммы в произведение.

Подсказка 2

На этом этапе удобно записать и решить ограничения!

Подсказка 3

Получившееся после преобразования уравнения второе слагаемое, удобно записать через тангенсы. А как нам выразить через тангенс косинус двойного угла?

Подсказка 4

Чтобы cos(2x) выразить через тангенс, удобно воспользоваться формулой косинуса двойного угла, а затем вспомнить, что 1 + tg²(α) = 1/cos²α, выразите отсюда косинус и подставьте в исходное уравнение.

Подсказка 5

Осталось воспользоваться формулой для tg(2x) и мы получим рациональное уравнение относительно tg(x). Решите его и не забывайте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Применим формулы суммы и разности косинусов:

cosx− cos3x= −2sin 2x sin(−x)= 2sin2xsinx

cosx+ cos3x= 2cos2xcosx

Преобразуем равенство из условия:

2cos2x+ sin2xsinx-= 2 cos2xcosx

Запишем ОДЗ:

2cos2xcosx⁄= 0

{ x ⁄= π2 + πk,k ∈ℤ x ⁄= π4 + πn2 ,n∈ ℤ

Продолжим преобразования равенства из условия:

2cos2x+ tg2x⋅tgx =2

Применим формулу косинуса и тангенса двойного угла:

2tg2x 2(2cos2x − 1)+ 1−-tg2x-= 2

Сократим равенство на $2$ и вспомним, что $cos2x= tg12x+1.$

2 --22---− 1+ -tg-x2--=1 tg x+ 1 1− tg x

2(tg2x-− 1)−-tg2x(tg2x-+1) tg4x − 1 = 2

− tg4x +tg2x− 2 ----tg4x-− 1---= 2

−-3tg4x-+tg2x= 0 tg4x − 1

(| tg4x− 1⁄= 0 |||{ ⌊ tgx= 0 | || tgx= √1- |||( ⌈ 31√- tgx= − 3

С учетом ОДЗ получаем ответ:

⌊ x =πk |⌈ x = π + πk x =−6π+ πk 6

Ответ:

$πk;±π + πk; k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90409

Решите уравнение

4 ( π) ( π) ( π ) ( π) cos x− cosx + 3 cosx − 3 = 2sin x+ 6 sin x− 6 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам больше всего не нравится в этом уравнении? Да как будто бы вообще всё, но давайте начнём с того, что понизим степень у косинуса. Конечно, произведения косинусов и синусов с разными аргументами нам совсем неудобны в работе... Подумайте, как от них можно избавиться!

Подсказка 2

После того, как мы понизили степень у косинуса и воспользовались формулами преобразования произведения в сумму, мы получаем квадратное уравнение относительно cos(2x). Решите данное уравнение и отсейте лишние корни!

Показать ответ и решение

Преобразуем произведение косинусов в сумму, а также воспользуемся формулой понижения степени.