Тема Логарифмы

Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88250

Решите неравенство

x+3 3 x 3 2 − x ⋅2 ≤16− 2x

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x3 = a, 2x =b$

b(8− a)≤2(8− a)

(a− 8)(b− 2)≥ 0

(x3− 8)(2x − 2)≥ 0

Функции в скобках монотонные, поэтому знак неравенства совпадает со знаком $(x− 2)(x− 1)≥0$ , что равносильно $(−∞,1]∪ [2,+∞).$

Ответ:

$(−∞;1]∪ [2;+∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#89107

Решите неравенство

log4x2(5x+ 6) >1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 4x2 > 0 { 4x2 ⁄= 1 |( 5x+ 6> 0

(| x∈ (−∞;0)∪(0;+∞) ||||{ x⁄= ± 12 ||||| 6 ( x> − 5

( ) ( ) ( ) ( ) x∈ − 6;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0;1 ∪ 1;+∞ 5 2 2 2 2

Применим метод рационализации

(4x2− 1)(5x+6 − 4x2)> 0

−(2x− 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x +3)> 0

(2x − 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x+ 3) <0

( 3 1) ( 1 ) x ∈ −4;−2 ∪ 2;2

Пересечём с ОДЗ и получим итоговый ответ — $( ) ( ) − 3;− 1 ∪ 1;2 . 4 2 2$

Ответ:

$(− 3;− 1) ∪( 1;2) 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89108

Решите неравенство

log2x(5x− 1)log3x(7x-− 1) 215x2+2 − 211x ≥ 0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( x> 0 (|| x> 0 ||||| ||||| ||||| x> 1 ||||| 5x − 1> 0 ||||| 5 |||{ 7x − 1> 0 |||{ x> 17 | ⇐ ⇒ | 1 ||||| 2x ⁄=1 ||||| x⁄= 2 ||||| 3x ⁄=1 ||||| 1 ||||( 15x2+2 11x ||||| x⁄= 3 2 − 2 ⁄=0 ||( 15x2 +2⁄= 11x

(|{ x∈( 1;1)∪ (1;1) ∪( 1;+∞) 5 3 3 2 2 |( (3x− 1)(5x− 2)⁄= 0

( ( ) ( ) ( ) ||| x∈ 1;1 ∪ 1;1 ∪ 1;+∞ ||||{ 5 3 3 2 2 x⁄= 1 ||||| 3 ||( x⁄= 2 5

( ) ( ) ( ) ( ) x ∈ 1;1 ∪ 1;2 ∪ 2;1 ∪ 1;+∞ 5 3 3 5 5 2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству, получив равносильное на ОДЗ неравенство

(2x−-1)(5x−-2)(3x-− 1)(7x-− 2)≥ 0 15x2+ 2− 11x

(2x− 1)(5x− 2)(3x − 1)(7x − 2) ------(3x−-1)(5x-− 2)-----≥ 0

Применим метод интервалов

( ] [ ) x ∈ − ∞;2 ∪ 1;+∞ 7 2

Учтя ограничения ОДЗ, получим итоговый ответ

(1 2] (1 ) x∈ 5;7 ∪ 2;+∞

Ответ:

$(1;2]∪ (1;+∞ ) 5 7 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89109

Решите неравенство

( 2 )2 -x−-1 log4 x − 4 + log2x2− 4 > 0

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

1 2 ( x-− 1-) 2⋅2 log2(|x − 4|)+log2 x2− 4 > 0

( 2 ) log2 |x-−24|(x-− 1) >0 x − 4

|x2−-4|(x−-1)> 1 x2− 4

При $− 2< x< 2$ получаем

−(x− 1) >1

x< 0

Так что $x∈ (−2;0).$

При $x∈ (−∞;− 2)∪ (2;+∞ )$ получаем

x− 1> 1

x> 2

Так что $x∈ (2;+∞ ).$

Объединяя промежутки из двух случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(−2;0)∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#89110

Решите неравенство

( √ ----) logx∕6 logx( 6− x) > 0

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения:

(| x ⁄=1 ||||| 6 ||||{ xx⁄= 1 6 >0 ||||| x> 0 ||||| 6− x>-0-- ( logx(√6− x)>0

Решая эту систему получаем, что $x ∈(1;5).$

Используя метод рационализации на введенных ограничениях, получаем:

log x6(logx(√6−-x))>logx6 1

( ) x − 1 (logx(√6−-x− 1))> 0 6

Рассмотрим отдельно второй множитель:

log (√6-−-x)− 1> 0⇒ log(√6-− x)> log x x x x

√---- (x− 1)( 6− x− x) >0

Тогда получаем:

(x ) √---- 6 − 1 (x− 1)( 6− x− x)>0

Методом интервалов получаем, что $x∈(0;1)∪ (2;6).$ С учетом ограничений получаем, что $x∈ (2;5)$

Ответ: (2;5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89481

Решите неравенство

( 2 ) ( 2 ) 2log(x2−6x+10)2 5x + 3 ≤logx2−6x+10 4x + 7x +3

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

(||x2 − 6x +10 > 0 |{x2 − 6x +10 ⁄= 1 ( 3 ) ||5x2 +3 > 0 ⇔ x∈ (−∞;− 1)∪ −4;3 ∪(3;+∞ ) |(4x2 +7x +3 > 0

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2log 2b a$ и равна на ОДЗ $log b. a$ Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

2 2 2 (x − 6x+ 10− 1)(5x + 3− 4x − 7x − 3) ≤0 (x− 3)2 ⋅x ⋅(x − 7) ≤0 x∈ [0;7]

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим окончательный ответ $x ∈[0;3) ∪(3;7].$

Ответ:

$[0;3)∪ (3;7]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91954

Решите неравенство

( 2 ) logx+3 x − 7x +12 ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдем ОДЗ:

( x+ 3> 0 |{ |( x+2 3⁄= 1 x − 7x+12 >0

Решая эту систему, получаем, что $x ∈(−3;−2)∪(−2;3)∪(4;+∞ ).$ Теперь применим метод рационализации. Тогда получится неравенство

2 2 (x+ 2)(x − 7x+ 12 − (x+ 3) )≤ 0

Во второй скобке приводим подобные:

(x +2)(−13x+ 3)≤ 0

Решая это неравенство, получаем, что $x∈ (− ∞;−2]∪[ 313;+∞ ).$ Остается пересечь это множество с ОДЗ. Получается, что $x ∈(−3;−2)∪[ 313;3)∪(4;+ ∞).$

Ответ:

$(−3;−2)∪[ 3;3)∪(4;+∞) 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91977

Решите неравенство

log 2 (x−1) log2 (x+1) 8 x−1 + 8 x −1 ≤ 6.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x − 1 >0 ( x2− 1⁄= 1

( { x> 1 ( x⁄= ±√2-

x ∈(1;√2)∪ (√2;+ ∞)

Домножим обе части исходного неравенства на $8logx2−1(x−1)$

82logx2−1(x−1)+8logx2−1(x+1)+logx2−1(x−1) ≤ 6⋅8logx2−1(x−1)

82logx2−1(x−1)+ 8logx2−1(x2−1) ≤6⋅8logx2−1(x− 1)

82logx2−1(x−1)− 6⋅8logx2−1(x−1)+ 8≤ 0

Сделаем замену $logx2−1(x−1) t= 8 ,$ получим

2 t − 6t+ 8≤ 0

(t− 2)(t− 4)≤ 0

t∈[2;4]

Тогда при обратной замене

2≤ 8logx2−1(x−1) ≤4

1 ≤logx2−1(x − 1)≤ 2 3 3

1≤ log 2 (x− 1)3 ≤2 x− 1

Решим неравенства по-отдельности:

1 ≤log2 (x − 1)3 x −1

Применим метод рационализации

(x2− 2)((x− 1)3− (x2 − 1))≥0

(x2− 2)(x3− 4x2 +3x)≥ 0

√- √- x(x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x − 3)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

√- x∈ (1; 2)∪ [3;+∞)

3 logx2−1(x− 1) ≤ 2

Применим метод рационализации

2 3 2 2 (x − 2)((x − 1) − (x − 1))≤ 0

(x2− 2)(− x4+x3 − x2+ 3x− 2)≤ 0

(x− √2)(x +√2-)(x− 1)2(x2 +x+ 2)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

x∈(√2;+∞ )

Пересекаем полученные полученные значения и получаем итоговый ответ

x ∈[3;+∞ )

Ответ:

$[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92344

Решите неравенство

-2x-- logx 3− x ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| -2x-> 0 |{ 3−x ⇐⇒ x∈ (0;1)∪(1;3). ||( x≥ 0 x⁄= 1

Применим метод рационализации:

(-2x- 2) (x− 1) 3− x − x ≤ 0

(x− 1)(3− x)(2x+ x3− 3x2)≤ 0

x(x − 1)2(3− x)(x− 2)≤0

x∈ [0;2]∪ [3;+∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (0;1)∪(1;2].$

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64605

Решите неравенство

( 6 5-) ( 7 13) log|x+1| x + x2 > log|x+1| x + x2 .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( |x+1|> 0 ||||| { |{ |x+1|⁄= 1 =⇒ x> − 56 ||| x6⁄=x+05 x⁄= 0 |||( 7xx2+1>3 0 x2 > 0

Рассмотрим два случая:

1) $|x+ 1|∈(0,1)⇔ x ∈(−2,−1)∪(−1,0)$ , тогда логарифмическая функция убывает, а условие эквивалентно

6 -5 7 13 x +x2 < x + x2 ⇔ 6x +5< 7x+ 13⇔ x> −8

2) $|x+ 1|>1 ⇔ x∈(−∞, −2)∪(0,+ ∞)$ , в таких условиях получим

6 5 7 13 x +x2 > x + x2 ⇔ 6x +5> 7x+ 13⇔ x< −8

Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.

Ответ:

$(− 5;0) 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67081

Решите неравенство

( 1) ( 1) logx2+x12 x− x >logx+x1 x− x

Показать ответ и решение

Для начала докажем следующее неравенство:

2 -1 a +a2 ≥2(a⁄= 0)

1 1 a2− 2a⋅a + a2 ≥ 0

( )2 a − 1 ≥ 0. a

Последнее неравенство, верно, значит, верно требуемое.Теперь выпишем ограничения на $x$ :

(| x2+ 1-> 0 ||||| x2 ||||| x2+ 12-⁄= 1 |||{ x1 | x −x > 0 ||||| 1 ||||| x +x > 0 |||( x + 1 ⁄= 1 x

Первые два уравнения выполнены всегда в силу доказанного. Тогда преобразуем оставшиеся:

(| x2− 1 ||||{ x > 0 x2+1- ||||| x > 0 ( x2− x +1 ⁄=0.

Первое уравнения верно для $x ∈(−1;0)∪ (1;+∞ ),$ второе - для $x ∈(0;+∞ ).$ Третье верно для всех $x,$ так как дискриминант меньше 0. Тогда $x∈ (1;+∞ ).$ Заметим, что если $x− 1∕x =1,$ то тогда неравенство не будет выполнено. Теперь преобразуем исходное неравенство с учетом ограничений:

------1(-----)-> -----1(---1)- logx− 1x x2 +x12 logx− 1x x+ x

-----(1---1-) −-----1(---1) > 0 logx− 1x x2+ x2 logx− 1x x+ x

( ) ( ) logx− 1x-x+-1x-−-logx− 1x-x2-+x12- log 1 (x2+ 1) ⋅log 1(x+ 1) > 0 x−x x2 x− x x

Тогда по методу рационализации:

(x − 1 − 1)(x+ 1 − x2−-12) (--1---)(-x---1---)x(---1--x)(--1---)->0. x −x − 1 x2+ x2 − 1 x− x − 1 x +x − 1

Так как при ограничении $x >1,$ то

1 √- 1 x+ x =( x)2+ (√x)2 ≥ 2,

по доказанному ранее. Тогда мы можем умножить на положительное число $( ) x(x+ 1x − 1)⋅ x2+ 1x2 − 1$

x3+x−xx4−1- (x− 1x − 1) > 0

4 3 −x-+2-x-+x-− 1-> 0 (x − x− 1)

Заметим, что $− x4+ x3+x − 1 =−(x− 1)2(x2+ x+1),$ что всегда меньше нуля при нашем ограничении на $x.$ Тогда имеем:

----1---- (x2− x− 1) < 0

x2− x− 1< 0

(1− √5 1+ √5) x∈ --2--,--2-- .

Тогда с учетом ограничений получим, что $x∈ (1,1+√5). 2$

Ответ:

$(1,1+√5) 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89776

Решите неравенство

∘ -2--- logx2− 1(x− 1)≥logx2−1 x-+ 1. 2

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 1> 0 |||{ 2 | x − 1⁄= 1 |||( xx−2 1> 0 2 +1> 0

{ x >1 x ⁄=√2-

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(x2− 1− 1)((x− 1)2 − (x2+ 1)) ≥ 0 2

√ - √- (x − 2)(x+ 2)x(x− 4)≥0

По методу интервалов решаем неравенство и пересекаем с ОДЗ:

√- x∈ (1; 2)∪ [4;+∞)

Ответ:

$(1;√2-)∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90017

Решите неравенство

√ --- log 3−x(3+ x)≤2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

log3− x(3+ x)≤ log3−x(3− x)

По методу рационализации это равносильно

(| 3 − x >0 |||{ 3 − x ⁄=1 | 3 +x >0 |||( (3− x− 1)(3+ x− 3 +x)≤ 0

(|{ −3< x< 3 x⁄= 2 |( (2− x)x≤ 0

По методу интервалов получаем ответ $x∈ (− 3;0]∪(2;3)$ .

Ответ:

$(−3;0]∪ (2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90018

Решите неравенство

x logxlog3(2 − 1)≥ 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

При $0< x< 1$ получаем, что

x 0< log3(2 − 1)≤ 1

x 1 <2 − 1≤ 3

1< x< 2

решения неравенства не входят в рассматриваемый промежуток.

При $x> 1$ получаем

log3(2x− 1)≥1

2x− 1 ≥3

x≥ 2

и записываем это в ответ.

Ответ:

$[2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90040

Решите неравенство

( 2 )x2− 3x 3x − 3x +1 ≤1.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

2 3x − 3x +1 >0 =⇒ x∈ ℝ

Представим правую часть как $3x2 − 3x+ 1$ в нулевой степени.

(3x2− 3x+ 1)x2−3x− (3x2− 3x+ 1)0 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации.

{ f g (a− 1)(f − g) ≤0 a − a ≤0 =⇒ ОД З

Тогда получаем

(3x2− 3x+ 1− 1)(x2− 3x)≤ 0 ⇐⇒ 3x2(x− 1)(x− 3) ≤0

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

x ∈{0}∪[1;3]

Ответ:

$x ∈{0}∪[1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31469

Решите неравенство

( 2 ) logx+2 2x +x ≤ 2

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| x+ 2> 0 { x+ 2⁄= 1 ⇔ x ∈(−2;−1)∪(−1;− 1)∪(0;+∞ ) |( 2 2 2x + x> 0

Теперь применим на ОДЗ метод рационализации:

2 2 (x +2 − 1)⋅(2x + x− (x +2) )≤0⇔ (x+ 1)(x− 4)(x+ 1)≤ 0⇔ x≤ 4.

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(−2;−1)∪(−1;− 1)∪(0;4] 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31470

Решите неравенство

( 2 ) log4−x x − 10 < 2

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| 4− x> 0 { 4− x⁄= 1 ⇔ x∈ (− ∞;−√10)∪ (√10;4) |( 2 x − 10 >0

Теперь применим на ОДЗ метод рационализации:

2 2 2 2 log4− x(x − 10)− log4−x(4 − x) < 0⇔ (4− x − 1)(x − 10− 16 +8x− x )<0 ⇔

⇔ (3− x)(x− 13)< 0⇔ x∈ (− ∞;3)∪(13;+∞ ). 4 4

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(−∞;− √10)∪(13;4) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31471

Решите неравенство

( 4x-+5) logx 6− 5x < −1.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x> 0 |{ ||( x4⁄=x+51 6−5x > 0

6 x ∈(0;1)∪ (1;5)

Перенесём в неравенстве правую часть налево и запишем единицу как логарифм по основанию $x :$

4x+ 5 logx(6−-5x)+ logxx< 0

Превратим сумму логарифмов в логарифм произведения:

2 logx(4x-+-5x)< 0 6− 5x

Используем метод рационализации на ОДЗ:

2 (x− 1)4x-+-10x−-6< 0 6− 5x

(x−-1)(x−-12)(x-+3) x− 65 > 0

x∈ (−∞; −3)∪(1;1)∪(6;+∞ ) 2 5

Осталось пересечь с ОДЗ и получить ответ.

Ответ:

$(1;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32653

Решите неравенство

--x-- log6x− 16x− 1 > 2logx(6x − 1).

Показать ответ и решение

Условия, задающие ОДЗ: $6x− 1> 0,6x− 1⁄= 1,x >0,x⁄= 1$ .

При замене $t=logx(6x− 1)$ по свойствам логарифмов неравенство принимает вид $1 t − 1> 2t$ , что эквивалентно $2t2+t−-1 t < 0$ .

По методу интервалов получаем $1 t∈ (− ∞;−1)∪ (0;2)$ .

1) По методу рационализации

1 2 t<− 1 ⇒ (x− 1)(6x− 1− x)<0 ⇒ (6x − x− 1)(x− 1)x <0

x ∈(− 13;0)∪(12;1)

С учётом ОДЗ $x∈ (12;1).$

2) Аналогично по методу рационализации

0 <t< 1 ⇒ (x− 1)(6x− 1− 1) >0∩ (x − 1)((6x− 1)2− x)< 0 2

x∈ (− ∞;1)∪ (1 ;1 ) 9 4 3

С учётом ОДЗ $x∈ (1;1). 4 3$

Ответ:

$(1;1)∪(1;1) 4 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#37800

Решите неравенство

( 2 ) (x+1)log8 x + 2x− 2 < 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x2+2x − 2> 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−1 − √3)∪ (− 1+√3,+ ∞)$ .

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:

2 (x+ 1)(8− 1)(x + 2x − 2− 1)< 0 ⇐⇒ (x +1)(x+ 3)(x− 1)< 0

По методу интервалов $x∈ (− ∞;−3)∪(−1;1).$ Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(−1+ √3;1)$