Теорема Виета для квадратных трёхчленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары 
натуральных чисел, для которых одно из чисел 
и 
равно
а другое равно 
где 
и 
— простые числа.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте разложить на множители число A.
Подсказка 2
A = (m + n)(m + n - 9). Какие есть свойства у числа A?
Подсказка 3
Заметьте, что оно является четным! Предположим, что A = 75q². Что можно сказать о q?
Подсказка 4
Оно простое и четное, следовательно, равно 2! Возможно ли это?
Подсказка 5
Как еще можно перекомбинировать слагаемые в равенстве A = m² + 2mn + n² - 9m - 9n?
Подсказка 6
Получите квадратное уравнение относительно m + n.
Подсказка 7
Остается только рассмотреть случай A = 13p², провести аналогичные действия и получить систему уравнений для m и n.
Число 
представимо в виде
Так как множители имеют разную чётность, 
— чётное число. Рассмотрим два случая.
Если 
то так как 
чётное, 
также должно быть чётным. Кроме того, 
— простое число, следовательно, 
Отсюда
получаем:
Это уравнение является квадратным относительно 
и не имеет натуральных корней. Значит, первый случай
невозможен.
Следовательно, 
и тогда по условию 
Рассуждая аналогично, получаем, что 
Тогда получаем
уравнение:
откуда 
или 
Подходит только 
так как числа 
и 
положительны.
Перейдём ко второму равенству:
Так как 
оно упрощается и принимает вид:
Отсюда 
— чётное число, поэтому 
Итак, числа 
и 
удовлетворяют системе:
Её решениями являются пары чисел 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
