Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Запишем условие с помощью теоремы Виета: , , , . Из второго и третьего равенств следует, что .

Если , то и , тогда трёхчлены имеют вид и . Понятно, что они подходят к условию.

Пусть теперь , тогда в равенстве на можно сократить. Получим . Из этого следует, что . Таким образом, трёхчлены имеют вид и . Они оба имеют корень , значит этот же корень имеет их разность , то есть . ненулевое, значит , откуда .

Если , то трёхчлен имеет корень , то есть , но ненулевое, противоречие.

Если , то при трёхчлен равен , откуда и оба трёхчлена имеют вид .