Теорема Виета для квадратных трёхчленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары квадратных трёхчленов 
, 
такие, что 
и 
— корни второго трёхчлена, 
и 
— корни
первого.
Источники:
Подсказка 1
Коэффициенты как-то связаны с корнями уравнения, очень сильно намекает на теорему Виета! Запишем её для обоих трёхчленов, получив систему из четырёх уравнений. Попробуем подставить одно в другое?
Подсказка 2
Очень удобно будет рассматривать случай произведения, так что выразим b с помощью d=ab и b=cd. Получается уравнение с тремя неизвестными. Осталось только аккуратно рассмотреть все случаи (помните, что случай b=0 нужно рассмотреть отдельно), подставить подходящие значения коэффициентов в трёхчлены, найти их корни и проверить, удовлетворяют ли они условию
Подсказка 3
Помните, что если два трёхчлена имеют одинаковый корень, то их разница тоже имеет этот же корень!
Запишем условие с помощью теоремы Виета: 
, 
, 
, 
. Из второго и третьего равенств следует, что
.
Если 
, то 
и 
, тогда трёхчлены имеют вид 
и 
. Понятно, что они подходят к условию.
Пусть теперь 
, тогда в равенстве 
на 
можно сократить. Получим 
. Из этого следует, что 
. Таким
образом, трёхчлены имеют вид 
и 
. Они оба имеют корень 
, значит этот же корень имеет их разность
, то есть 
. 
ненулевое, значит 
, откуда 
.
Если 
, то трёхчлен 
имеет корень 
, то есть 
, но 
ненулевое, противоречие.
Если 
, то при 
трёхчлен 
равен 
, откуда 
и оба трёхчлена имеют вид 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
