Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Понятно, что каждый трёхчлен имеет по два различных корня, пусть первый трёхчлен имеет корни и , тогда со вторым он имеет общий корень , с третьим — . Общий корень второго и третьего трёхчленов обозначим . Выразим в первом неравенстве коэффициенты через корни соответствующих трёхчленов по теореме Виета: . После тождественных преобразований получим . Оно справедливо, когда не лежит между и . Аналогично для выполнения двух других неравенств необходимо, чтобы не лежал между и , не лежал между и . Но среди чисел нет равных чисел, значит всегда какое-то одно находится между двумя другими, а два других — нет. Таким образом, выполнено ровно два неравенства из трёх приведённых.