Теорема Виета для квадратных трёхчленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны квадратные трёхчлены 
, 
и 
. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три
общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх:
Источники:
Подсказка 1
Давайте начнём с условия на то, что любые два из квадратных трёхчленов имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Что мы тогда можем сказать про кол-во корней каждого них? А сколько всего различных корней в совокупности этих трёх квадратных уравнений?
Подсказка 2
Да, у каждого из них по 2 различных корня, а у трёх вместе - 3. Давайте тогда обозначим их за x₁, x₂, x₃ и как-то распределим их между нашими уравнениями без ограничения общности и наконец-то воспользуемся теоремой Виета, чтобы заменить каждый из коэффициентов a, b, c на выражения с x₁, x₂, x₃.
Подсказка 3
После преобразований мы получим квадратные уравнения относительно какого-то из корней. Для примера, из первого неравенства получится: x₂² - (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ > 0, можем ли мы сразу сказать, какие корни у этого квадратного трёхчлена? А когда оно верно?
Подсказка 4
Да тут же снова теорема Виета, остаётся проделать такие же шаги для других неравенств, сделать правильный вывод и радоваться доказательству!
Понятно, что каждый трёхчлен имеет по два различных корня, пусть первый трёхчлен имеет корни 
и 
, тогда со вторым он имеет
общий корень 
, с третьим — 
. Общий корень второго и третьего трёхчленов обозначим 
. Выразим в первом неравенстве
коэффициенты через корни соответствующих трёхчленов по теореме Виета: 
. После
тождественных преобразований получим 
. Оно справедливо, когда 
не лежит между 
и 
. Аналогично
для выполнения двух других неравенств необходимо, чтобы 
не лежал между 
и 
, 
не лежал между 
и 
. Но среди чисел
нет равных чисел, значит всегда какое-то одно находится между двумя другими, а два других — нет. Таким образом, выполнено
ровно два неравенства из трёх приведённых.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
