Графики квадратных трёхчленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
Источники:
Подсказка 1:
Давайте заметим, что для числа x на доске, в тетрадь будет записано число x(10 - x) = 10x - x².
Подсказка 2:
Пусть f(x) = 10x - x². Если f(a) = f(b), то как связаны a и b?
Подсказка 3:
Либо a = b, либо a + b = 10. Ясно, что первый вариант в контексте задачи невозможен. Значит, некоторые числа в тетради разбиваются на пары с суммой 10. Учитывая, что в тетради всего 4 различных числа, сколько таких пар?
Для каждого числа 
написанного на доске, произведение 
и суммы шести оставшихся равно
Квадратичная функция 
принимает все значения, кроме максимального, два раза — а именно, в точках 
и 
Значит, если
при 
то 
Таким образом, каждое число встречается в тетради не более двух раз. Значит, так как в тетради всего четыре различных числа,
три из них встречаются по два раза, и ещё одно — один раз. Таким образом, шесть из семи чисел на доске разбиваются
на пары так, что сумма чисел каждой пары равна 
Значит, сумма этих шести чисел равна 
тогда седьмое число
равно
-20
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
