Графики квадратных трёхчленов

Обозначим график первого из квадратных трехчленов через , а график второго — . Для начала перенесём всю картинку таким образом, чтобы точка совпала с началом координат. Рассмотрим такое сжатие всей картинки к оси абсцисс, чтобы совпал с графиком функции . Пусть точка имеет координаты , точка  — координаты . Заметим, что разность квадратных трёхчленов, задающих графики и , есть квадратный трёхчлен, который обращается в ноль в точках и . Из этого следует, что график задаётся уравнением для некоторого действительного

Прямая задаётся уравнением , поэтому точка может быть найдена как решение системы , . Приравнивая правые части, получаем уравнение . Одно из решений этого уравнения , поэтому второе по теореме Виета равняется ; подставляя это выражение в первое уравнение, получаем . Заметим, что последнее выражение симметрично относительно и , поэтому если мы проделаем все те же действия для точек и , мы получим тот же самый . Но тогда ординаты точек и равны, откуда и следует, что прямая параллельна оси абсцисс.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Утверждение задачи является предельным случаем следующего более общего факта (который можно назвать параболическим аналогом леммы Фусса).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть две параболы и (с параллельными осями) пересекаются в точках и . Пусть прямая, проходящая через , пересекает вторично в точке (), а прямая, проходящая через , пересекает вторично в точке . Тогда .