Графики квадратных трёхчленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На оси 
произвольно расположены различные точки 
, 
. Построены все параболы, задаваемые приведенными
квадратными трехчленами и пересекающие ось 
в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть
— функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола 
пересекает ось 
в двух
точках.
Источники:
Подсказка 1
Если нам даны точки на оси, то мы знаем корни каждой параболы. Как тогда будет выглядеть уравнение параболы в общем случае?
Подсказка 2
Мы можем легко по теореме Виета составить уравнение параболы по её корням. Всего у нас n(n-1)/2 различных пар иксов. Тогда как будет выглядеть сумма всех возможных функция, задающих параболы, проходящие через данные точки?
Подсказка 3
Сумма всех таких функций равна x² * n(n-1)/2 - (n-1)(x₁ + x₂ +…+ xₙ) * x + (x₁x₂ + … + xₙ₋₁xₙ) Каким образом мы можем доказать, что данная функция будет иметь два пересечения с осью Ox?
Подсказка 4
Если докажем, что дискриминант больше нуля, то докажем, что функция пересекает ось Ox в двух точках.
Понятно, что приведённый трёхчлен, проходящий через 
, имеет вид 
. Тогда их сумма равна
Старший коэффициент равен количеству трёхчленов, которые имеют корни в указанных точках. Покажем, что дискриминант положителен:
Достаточно доказать, что:
После раскрытия скобочек и привидения подобных получим:
Последнее неравенство верно, так как переменные различны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
