Графики квадратных трёхчленов

Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, график которой проходит через точки и Обозначим полученные трехчлены соответственно и (где у старший коэффициент равен а у он равен ). Пусть абсциссы точек и равны соответственно и Тогда и касательные в точках и к графику трехчлена пересекаются на графике В самом деле, вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также пересечения двух прямых и параболы в одной точке.

Обозначим через Поскольку график трехчлена симметричен относительно прямой поэтому касательные к этому графику в точках и пересекаются на оси симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты а вершина параболы-графика имеет координаты

Поскольку старший коэффициент трехчлена равен имеет место равенство или поскольку график есть парабола , перенесенная параллельно так, чтобы вершина попала в По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках и есть значит, Таким образом, если перенести параболы-графики и так, чтобы их вершины попали в то ординаты точек с абсциссой на этих параболах будут соответственно и из чего следует, что старший коэффициент у в раза больше, чем у