Графики квадратных трёхчленов

Каждому из наших многочленов соответствует две целых точки и на оси Не умаляя общности будем считать, что Назовем шириной многочлена натуральное число а осью многочлена —

Пусть многочлен имеет ширину и ось тогда он записывается в виде

Покажем, что графики двух разных многочленов такого вида имеют ровно две общих точки, когда у них разные ширины и оси. Если же у них совпадает ширина или ось, то у них ровно одна общая точка.

Действительно, равносильно Если то каждое из двух линейных уравнений имеет корни, и они совпадают только если Если же то (трехчлены разные) и одно из двух линейных уравнений корней не имеет, а второе имеет.

Заметим, что ширина многочлена может принимать значение от 1 до 100, при этом найдется не более одного многочлена с шириной Обозначим количество многочленов с шириной Оценим количество пар многочленов с одинаковой шириной:

В последнем неравенстве мы воспользовались следующим соображением: так как сумма ста чисел равна 200 и то найдется еще хотя бы одно следовательно,

Осью многочлена может быть любое целое или полуцелое число от до таких чисел следовательно, найдется как минимум одна пара многочленов с общей осью. Это будет ранее не учтенная пара, так как трехчлены с общими шириной и осью совпадают. Чтобы найти количество точек пересечения графиков надо из удвоенного количества пар многочленов вычесть количество пар с одинаковой шириной или осью. Таким образом, точек пересечения не более, чем что меньше, чем