Теорема о промежуточном значении

Первое решение.

Из графика квадратного трехчлена видим, что либо и расположены на числовой оси симметрично относительно точки — абсциссы вершины параболы, т.е при Но для многоугольника поэтому Тогда значит,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Переформулируем задачу в непрерывном виде , тогда нашлось такое (, что , то есть

Может ли быть так, что ? Нет, поскольку в многоугольнике хотя бы 3 стороны и выполнено неравенство ломаной — если вычесть из обеих частей , то остальные стороны будут образовывать ломаную, соединяющую начало и конец стороны, что соответствует длине . Но тогда , далее , но подставляя это аналогично (*), получим , что выполнено из , что и требовалось.