Теорема о промежуточном значении
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любого натурального числа 
и для любых действительных чисел 
удовлетворяющих условию
уравнение
имеет хотя бы один действительный корень.
Источники:
Подсказка 1
Что можно сказать о левой части уравнения?
Подсказка 2
Заметим, что это многочлен степени n-1. Какие случаи можно рассмотреть?
Подсказка 3
Например, если бы n было чётным, то всегда бы нашелся хотя бы 1 действительный корень.
Подсказка 4
Пусть n — нечётно. Что тогда можно сказать про a-шки?
Подсказка 5
Если бы нашлись такие i и j, что aᵢ = aⱼ, то был бы корень a = aᵢ = aⱼ. Поэтому будем считать a-шки различными. Что, если для некоторого i aᵢ = 0?
Подсказка 6
Тогда aᵢ — корень. Будем считать a-шки ненулевыми. Упорядочим их по возрастанию.
Подсказка 7
Попробуйте посмотреть на знак выражения при подстановке aₖ вместо x.
Левая часть 
в этом уравнении представляет собой многочлен степени 
так как коэффициент при 
равен
Если 
четно, то получаем многочлен нечетной степени, он всегда имеет действительный корень, так
как функция 
непрерывна и 
при достаточно большом 
Пусть 
нечетно. Можно
считать, что все числа 
различны (в противном случае число 
где 
является корнем), не
равны нулю (если 
при некотором 
то и 
) и упорядочены по возрастанию: 
Заметим,
что
имеет тот же знак, что и 
Но при 
среди чисел 
есть хотя бы одна пара соседних,
имеющих одинаковый знак. Тогда значения в этих точках разного знака, поэтому между ними есть корень многочлена
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
