Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Показательные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125521

Решить уравнение

x x− 1 x+1 2x− 1 4 − 3 2 =3 2 − 2

Показать ответ и решение

Пусть $x − 1 =t, 2$ тогда уравнение примет вид

t t t t 2⋅4− 3 = 3⋅3− 4

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

3⋅4t = 4⋅3t

( ) 4 t = 4 3 3

Отсюда $t= 1,$

3 x = 2

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88245

Решите уравнение

( 1)x−2 5x+1 = 5

Показать ответ и решение

x+1 2−x 5 = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88247

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15 6x− 9x − 5 = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x− 9x− 5⁄= 0.$ Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

x x x x 2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на $22x$ , получим

( )2x ( )x 3⋅ 3 − 3 − 1 =0 2 2

Сделаем замену $( ) 3 x = t, t> 0 2$ . Тогда

3t2− t− 1= 0

√-- t= 1±--13 6

И так как $t>0$ , подходит только $√-- t= 1+--13 6$ . Тогда $√-- x= log 31+--13 2 6$

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что $log3(√13-+ 1)<0 2 6$ , так как $√13-+ 1< 1 6$ . Поэтому $6x < 1$ , а значит $6x− 9x− 5< 0.$

Ответ:

$log (1+√13) 32 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31033

Решите уравнение

( ) 4−x2- 1 2 =8x 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выражения выглядит не очень удобно для работы. Попробуйте преобразовать ее. Справа у нас 2^(3x). Давайте левую часть тоже преобразуем так, чтобы там получилась двойка в некоторой степени!

Показать ответ и решение

( )4−x2- 2 1 2 = 2− 2⋅4−2x-= 23x = 8x 4

x2− 4= 3x

(x− 4)(x+ 1)= 0

Ответ:

${−1;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31034

Решите систему

{ 7 ⋅2x+ 6y = 2; 3 ⋅2x+1− 5y = 93.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это уравнение относительно двух переменных. Давайте попробуем одну из них сократить - домножим верхнее уравнение на что-то, нижнее тоже, вычтем и получим уравнение только с х!

Показать ответ и решение

x x+1 x x 5(7⋅2 + 6y)+ 6(3 ⋅2 − 5y)=2 ⋅(35+36)= 71⋅2 =568.

x 2 = 8.

Тогда $x = 3$ и $y = 2−7⋅62x-= −9$ .

Ответ:

$(3,− 9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31035

Решите уравнение

-15x+-9x+6-- 2⋅15x +25x+ 3 = 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

После домножений и приведений подобных членов у нас остаются возведенные в степень 15, 9 и 25. Нам бы хотелось, чтобы в степень возводилось одно и то же - для этого делим все имеющееся на 9^x!

Показать ответ и решение

Так как знаменатель $2⋅15x+ 25x+3 >3$ заведомо не равен нулю, то уравнение равносильно

x x x x 15 +9 + 6= 2(2 ⋅15 + 25 +3).

Перенесём всё направо:

x x x 0 =3 ⋅15 + 2⋅25 − 9 .

Разделим на $9x :$

( ) ( ) 0 =3 ⋅ 5 x+ 2⋅ 25 x − 1. 3 9

Сделаем замену $(5)x t= 3$ :

2 0= 2t + 3t− 1.

Так как $t= (5)x > 0 3$ , то из двух корней подходит только $t= −3+√17, 4$ соответственно $x= log5∕3t.$

Ответ:

$log √17−3 5∕3 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31037

Решите уравнение

x ( 1)3x−1 33 + 3 = 4.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется сделать замену, чтобы снова уравнение получилось хотя бы квадратное! Как можно (1/3)^y приобразовать к 3 в какой-то степени? Как 3^(-y)!Теперь внимательно еще раз смотрим на наше условие.

Показать ответ и решение

x ( 1)3x 33 +3 ⋅ 3 = 4.

Если $t=33x$ , то $t+ 3t = 4$ или $t2− 4t+3 =(t− 3)(t− 1)$ . Тогда либо $t =33x = 1$ и $3x = 0$ , что невозможно, либо $t= 33x = 3$ , $3x = 1$ и $x= 0$ .