Тема . Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела системы уравнений и неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119624

Целые числа x  и y  связаны уравнением 2x− 3y = 1  и имеют вид x= 12a+ b√5,y = ba−1+ 3√5  для некоторых чисел a  и b.  Найти x,y  и a,  если известно, что число b  рациональное.

Источники: Росатом - 2025, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Общее решение в целых числах уравнения 2x − 3y = 1  имеет вид x= 3t− 1  , y = 2t− 1  , где t  – целое число. Перепишем уравнения:

{         √-
   3t− 1− b√5= 12a− 1
   2t− 1− 3 5= ba

Перемножим эти два уравнения:

       √ -        √-
(3t− 1− b 5)(2t− 1− 3 5)= 12b

(3t− 1)(2t− 1)+ 15b− √5(3(3t− 1)+ b(2t− 1))= 12b

Из рациональности b  следует, что равенство возможно только если

{
  3(3t− 1)+b(2t− 1)= 0
  (3t− 1)(2t− 1)+ 15b= 12b

Выразим b  из каждого уравнения:

    3(3t−-1)   (3t− 1)(2t−-1)
b= − 2t− 1 = −     3

(2t− 1)2 =9

[
 t= 2
 t= −1

Рассмотрим возможные варианты.

Случай 1. t =2  :

{  x= 3t− 1= 5             5(1+ √5)
   y = 2t− 1= 3 ⇒ b=− 5⇒ a= ---12---

Случай 2. t =− 1  :

{                           √-
  x= 3t− 1=− 4 ⇒ b= −4 ⇒ a= -5−-1
  y = 2t− 1 =− 3              3
Ответ:

 x = 5, y = 3, a = 5(1+-√5); x =− 4, y = −3, a = √5−1
 1     1    1     12    2      2      2    3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!