Тема . Системы уравнений и неравенств

Замены переменных

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела системы уравнений и неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49483

Решите систему уравнений

(| x2 = (y− z)2− 3;
{ y2 = (z− x)2− 7;
|(  2       2
  z = (x− y) + 21.

Источники: ОММО-2018, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

хм, пока не очень понятно, что можно сделать с этими уравнениями, а давайте попробуем перенести квадрат разности в другую часть и естственно применить разность квадратов.

Подсказка 2

заметим, что множители в наших трех итоговых уравнениях частично совпадают! // для удобства можно заменить их на a, b, c. тогда у вас есть ab, bc и ac, а надо найти каждое по отдельности, для этого помогло бы узнать abc, например!

Показать ответ и решение

Перенесём в каждом уравнении квадрат разности в левую части и применим формулу для разности квадратов:

(| (x− y +z)(x +y− z)= −3
{ (y− z +x)(y +z− x)= −7 .
|(
  (z− x +y)(z +x− y)= 21

Обозначим X = −x+ y+ z,Y = x− y+ z,Z =x +y − z  . Тогда

(|  YZ =− 3
{  ZX =− 7
|(  XY = 21

Перемножая все получившиеся равенства, имеем (XY Z)2 = 3⋅7⋅21  , откуда XY Z =21  или XYZ = −21.

Разберём случай XYZ = 21  . В нём X = (XYZ)∕(YZ)= −7,Y = −3,Z =1  ; тогда x= Y+2Z-=  − 1,y =− 3,z = −5.

Второй случай разбирается аналогично и в нём x= 1,y = 3,z = 5.

Ответ:

 (−1,−3,− 5),(1,3,5)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!