Рекуррентные соотношения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность натуральных чисел 
построена по следующему правилу:
Докажите, что в этой последовательности не больше одного точного квадрата. Для тех, кто не жил в 
-м году сообщаем, что этот год
был простым.
Подсказка 1
Попробуем рассмотреть остатки n-го и (n+1)-го членов по какому-нибудь модулю. Как они взаимосвязаны?
Подсказка 2
Давайте рассмотрим остатки по модулю 4, так как идёт речь про квадраты. Тогда все члены, начиная с третьего, могут иметь только остатки 2 и 3, и не могут являться квадратами, так как по модулю 4 квадраты имеют остатки 0 и 1. А могут ли сразу два первых члена быть квадратами?
Подсказка 3
Пусть первый член являться квадратом числа a, а второй является квадратом числа b. Что тогда следует из исходной рекурренты?
Рассмотрим взаимосвязь остатков 
по модулю 
 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 | 3 | 0 | 3 | 2 |
Как известно, квадраты дают только остатки 
однако при любом остатке 
остаток 
будет какой-то из 
откуда
остатки 
принимают значения из 
то есть 
не могут быть квадратами. Остаётся показать, что сразу оба 
и
также не могут ими являться. Итак, пусть 
тогда
Последний вывод следует из того, что 
простое. Но тогда
что невозможно, значит, в последовательности действительно не больше одного полного квадрата.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
