Тема . Последовательности и прогрессии

Рекуррентные соотношения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела последовательности и прогрессии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77218

Последовательность {a}
 n определена условиями

                 -1--
a0 = 7 и an = an−1+ an−1 для n ∈ℕ.

Докажите, что 64< a2024 < 65.

Показать доказательство

Возведем в квадрат второе уравнение

 2   2     1
an =an−1+ a2n−1 + 2

Выразив остальные члены последовательности, получим систему

(
||| a2n = a2n−1+ a12-+2
||||| a2  = a2  +n−211--+2
||||{  n2−1   n2−2  an−12-
  an−2 = an−3+ a2n−3 +2
||||| ⋅⋅⋅
||||| a22 = a21+ 1a21 +2
||( a21 = a20+ 12+2
          a0

Сложив уравнения системы, получим

 2       2  n−∑ 11
an = 2n+ a0+   a2k
            k=0

Тогда

           20∑231
a22024 =4097+   a2> 4097
           k=0 k

А значит, a2024 > 64.

Заметим, что данная последовательность возрастающая, то есть каждый член больше предыдущего, а значит, обратный квадрат меньше.

           20∑231             1
a22024 =4097+    a2< 4097 +2024⋅49 < 4225= 652
            k=0  k

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!