Тема . Последовательности и прогрессии

Рекуррентные соотношения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела последовательности и прогрессии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79863

Последовательности a
 n  и b
n  определяются следующим образом:

             an+-2                b2n+-2
a1 = 1, an+1 = an+ 1; b1 =1, bn+1 = 2bn

Докажите, что любой член последовательности bn  встречается в последовательности an.

Показать доказательство

На самом деле верно, что b   =a n.
n+1   2  Представим a
 n  в виде несократимой дроби c∕d .
n  n  Докажем, что c  =c2+ 2d2
 2n   n    n  и d  =2c d
2n    n n  индукцией по n.  База легко проверяется. Переход от n  к n +1.  Обозначим cn = c,dn =d.  Имеем

      an+ 2  c+ 2d                  c2n +2d2n  c2+ 2d2 +4cd
an+1 = an+-1 =-c+-d , аналогично a2n+1 = c2n+-d2n-= c2+-2d2-+2cd

откуда

        2   2             2       2
a2n+2 = 3c2c2++-64dd2-++86ccdd = (c+22(cd+)2+d)(2(cc++d)d)

что и требовалось доказать.

Далее докажем, опять же по индукции, что bn+1 =a2n.  База снова легко проверяется, докажем переход от n  к n+ 1.  Пусть bn+1 = c2n∕d2n,  обозначим c2n = c,d2n = d.  Тогда

      b2n+1-+2-  (c∕d)2+-2-  c2+-2d2
bn+2 = 2bn+1  =   2c∕d   =  2cd  = a2⋅2n = a2n+1

по доказанному выше.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!