Тема . Последовательности и прогрессии

Рекуррентные соотношения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела последовательности и прогрессии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81691

Последовательность (x ),
 n  заданная первыми членами x = a
 0  и x = b,
 1  а также рекуррентным соотношением

      1(      -1)
xn+1 = 2 xn−1+ xn

является периодической. Докажите, что ab= 1.

Показать доказательство

Домножим рекуррентное соотношение из условия на x
 n  и получим:

2xnxn+1 = xn−1xn+ 1

что равносильно:

2(xnxn+1− 1)= xn−1xn − 1

Определим последовательность {yn} по правилу yn = xn−1xn− 1  при n∈ ℕ.  Она является геометрической прогрессией так как yn+1 = yn∕2.  Если последовательность {xn} периодическая, то таковой является и {yn}.  Понятно, что yn = ny1−1,
    2  то есть yn  будет периодической лишь когда yn = 0  для всех n ∈ℕ.  Следовательно,

ab= x0x1 =y1+ 1= 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!