Тема . Последовательности и прогрессии

Рекуррентные соотношения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81693

Рассмотрим последовательность $a ,a ,...,a, 0 1 n$ в которой $a = 1 0 2$ и

a2 ak = ak−1 +-k−n1

при всех $k =1,2,...,n.$ Докажите, что

1− 1 <an <1 n

Показать доказательство

Перепишем рекуррентное соотношение в следующем виде:

1 1 n 1 1 ak =------a2k−1= ak−1(n+-ak−1) =ak−1 −n-+ak−1 ak−1+ n

Следовательно,

--1- -1 ---1--- ak−1 −ak = n+ ak−1 (1)

для $k= 1,2,...,n.$

Понятно, что последовательность $ak$ возрастает. Значит,

an > an−1 > ...> a0 = 1 2

Из равенства $(1)$ следует:

-1--− 1-< 1 ak− 1 ak n

для $k= 1,2,...,n.$

Если просуммировать все такие неравенства, то получим:

1 1 a0 − an <1

или

1-> -1− 1= 2− 1= 1 an a0

То есть, $an < 1.$ Поскольку $an <1,$ и $ak$ возрастает, $a0 < ak ≤ an < 1$ для $k =1,2,...,n.$

Также из $(1)$ следует:

-1--− 1-= ---1---> --1- ak−1 ak n +ak−1 n +1

для $k= 1,2,...,n.$

Снова просуммируем все полученные неравенства и получим:

-1 -1 -n-- a0 −an > n+ 1

или

1 1 n n+ 2 an < a0-− n+-1 = n+-1

Таким образом,

an > n+-1= 1− -1--> 1− 1 n+ 2 n+ 2 n

что и требовалось.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse