Рекуррентные соотношения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность натуральных чисел 
определяется следующими соотношениями:
где 
— фиксированное натуральное число.
Сколько существует таких последовательностей, в которых встречается число 2024?
Источники:
Подсказка 1
Дана формула для вычисления членов последовательности, но она выглядит сложно, попробуйте явно выразить первые члены, может быть увидите какую-то закономерность.
Подсказка 2
Видно, что каждый член с номером, дающим остаток 3 при делении на 4, равен 1. Тогда попробуйте выразить формулы и доказать их справедливость для членов с номерами 4m, 4m+1, 4m+2 и 4m+3, где m — целое неотрицательное число.
Подсказка 3
Все члены с номерами вида 4m имеют вид 4mk+1, с номерами 4m+1 — k-1, с номерами 4m+2 — (4m+3)k-1, с номерами 4m+1 — 1. Доказывать эти формулы очень удобно по индукции, ведь по условию дано соотношение, где последующий член выражается через предыдущий.
Подсказка 4
Теперь, используя полученные формулы, посмотрите какие члены нашей последовательности могут равняться 2024.
Подсказка 5
Числа с номерами 4m и 4m+3 сразу отпадают из-за нечётности, а с номером 4m+1 даёт только одну последовательность (какую?). Для чисел с номерами 4m+2 получается уравнение в целых числах ((4m+3)k=2025). При решении полученного уравнения количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, рассмотрев, какие остатки при делении на 4 дают 4m+3, 2025 и какой тогда остаток при деление на 4 должно иметь k.
Докажем, что для любого целого 
справедливы следующие формулы:
Будем доказывать эти формулы индукцией по 
. База 
проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы
для всех чисел, не больших 
, и докажем эти формулы для числа 
. Поскольку по предположению индукции 
,
последовательно получаем следующие равенства:
Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности
могут равняться 2024. Ясно, что числа вида 
и 
не могут равняться 2024: числа вида 
нечётны, а числа
вида 
равны 1 . Далее, числа вида 
могут равняться 2024 только при 
, что дает нам один пример
последовательности.
Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного 
число 
равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение:
. Заметим, что сомножитель 
дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4.
Значит, число 
, во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к.
). Поскольку 
, число 
имеет вид 
, где 
и 
. Для того, чтобы число 
такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень 
была бы нечетной (поскольку 
и 
). Получаем ещё 6 возможных значений 
. Вместе с вариантом 
получаем 7
возможных последовательностей.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
