17.08 Дополнительные построения в трапеции и параллелограмме

Опустим из точки высоту на основание . Рассмотрим случаи, где может лежать точка .

Случай 1. Точка лежит на продолжении прямой за точку .

Заметим, что так как , то основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , лежит на луче . Тогда точка не может лежать на продолжении прямой за точку .

Случай 2. Точка лежит на отрезке .

Тогда треугольник прямоугольный, так как . По условию , так как — высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то есть катет лежит напротив угла .

Продим боковые стороны трапеции и до пересечения. Пусть они пересекаются в точке . Тогда в треугольнике имеем равенства

Значит, по сумме углов треугольника

Пусть — середина , — середина . Тогда точки , и лежат на одной прямой, то есть . Заметим, что — медиана прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, значит, . Аналогично — медиана прямоугольного треугольника , значит, . Следовательно,

Впомним, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то есть в трапеции длина этого отрезка равна по условию. Значит,

Случай 3. Точка лежит на продолжении прямой за точку .

Таким образом, треугольник является прямоугольным, так как . По условию , так как — высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , то есть катет лежит напротив угла . Тогда угол трапеции равен

Продим боковые стороны трапеции и до пересечения. Пусть они пересекаются в точке . Тогда в треугольнике имеем равенства

Значит, по сумме углов треугольника

Таким образом, треугольник — равнобедренный, то есть .

Пусть — середина , — середина . Тогда точки , и лежат на одной прямой, то есть . Заметим, что — медиана треугольника , значит, .

Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему косинусов:

Аналогично — медиана треугольника , значит, . Следовательно,