Дискриминант и корни квадратных трёхчленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа 
и 
таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов 
и 
имеет по два различных корня,
а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх
корней.
Источники:
Подсказка 1
Вспомним теорему Безу или то, что ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), x₁, x₂ - корни квадратного трёхчлена. А в таком виде уже очевидно, как произведение исходных 2-ух квадратных трёхчленов может иметь 3 различных корня.
Подсказка 2
Верно, у них должен быть общий корень. Вспомним такой факт, что если P₁(x₀) = 0 и P₂(x₀) = 0, то и c*P₁(x₀) + d*P₂(x₀) = c*0 + d*0 = 0 для всех c, d и кв. трёхчленов P₁(x), P₂(x). Может быть, у нас получится найти такие c, d, которые дадут нам дополнительную информацию про общий корень?
Подсказка 3
Полезно взять c = 1, d = -1, потому как тогда уйдёт x².
Подсказка 4
Ура, мы поняли, что они имеют общий корень: 1, а не пора ли применять Виета?)
Подсказка 5
Из Виета мы поняли, что первый трёхчлен имеет корень b, а второй: a. Получается, что нам нужно найти 1 + a + b, а оно уж очень похоже на x² + ax + b, что нам остаётся сделать, чтобы решить задачу?
Если каждый трёхчлен имеет два различных корня, а их произведение — три различных, то эти трёхчлены имеют ровно один общий корень.
Значит, его имеет их разность 
. Отметим, что 
иначе трёхчлены совпадут, равно как и их оба корня. Таким образом,
их общий корень равен 
. При подстановке в оба трёхчлена получим 
. Также по теореме Виета понятно, что первый трёхчлен
имеет корень 
, а второй — 
, тогда искомая сумма равна 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
