Симметрия (и чётность) в параметрах

Заметим, что система симметрична относительно замены на Действительно, во втором уравнении Левая часть первого уравнения при подстановке вместо выражения не меняется:

Таким образом, если система имеет решение то она также имеет и решение Эти решения совпадают, если то есть при Следовательно, все решения, которые могут быть у системы, кроме решения разбиваются на пары: и Таким образом, у системы может быть нечетное число решений только в том случае, если у нее нечетное число решений вида Следовательно, как минимум, система должна иметь решение, где

Найдем те и при которых у системы есть нечетное число решений вида Пусть

Следовательно, данная система будет иметь единственное решение если откуда Значит, при исходная система имеет нечетное число решений (среди которых ровно одно решение с ). Отберем такие пары и при которых решений у системы не просто нечетно, а именно пять.

Пусть Тогда исходная система примет вид

Первая система имеет одно решение Определим, при каких значениях параметров вторая система имеет четыре решения. Значит, она должна иметь четыре решения относительно переменной Следовательно, уравнение должно иметь четыре решения. Это уравнение в принципе будет иметь решения, если то есть если Тогда уравнение преобразуется в совокупность из двух уравнений

Значит, должно быть таким, чтобы каждое из этих двух уравнений имело два решения, причем решения одного уравнения не совпадают с решениями второго. Значит, нужно:

Таким образом, при и исходная система имеет 5 решений.