Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .07 Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98819

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

4 2 a(4− sinx) − 3+cos x+a >0

выполняется для всех $x.$

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

--3− cos2-x- a > 1+(4− sinx)4

Обозначим правую часть за $f(x).$ Заметим, что требование $a >f(x)$ при любом $x$ означает

a> maxf(x).

Ясно, что при всех $x$

3− cos2x≤ 3,|4− sinx|≥ 3,

поэтому

3 f(x)≤ 1+34,

причём равенство достигается, например, при $x = π2.$ Поэтому

maxf(x)= 3- 82

Ответ:

$( 3-;+∞) 82$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43117

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 2 x − (a+2)x − 2ax +4a = 0

имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений $a$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Нам дано уравнение относительно х с параметром а. Давайте попробуем посмотреть на это, как на уравнение относительно а. Что это будет?

Подсказка 2!

В точности квадратное уравнение. Давайте запишем его решения. То есть выразим а через х с помощью дискриминанта.

Подсказка 3!

Итак, 8а = х^2+ 2х +-(х^2-6х) А затем заметим, что а очень красиво выражается тогда через х. В одном из случаем получаем а = х. А что со вторым?

Показать ответ и решение

Если рассмотреть уравнение как квадратное относительно $a$ :

2 2 3 2 4a − a(x + 2x)+ x − 2x =0

Дискриминант равен

2 2 3 2 2 2 2 2 x (x+ 2) − 4⋅4⋅(x − 2x )= x (x + 4x+ 4− 16x+ 32)=x (x − 12x+ 36)

Тогда $8a =x2+ 2x± (x2− 6x),$ откуда $a= x$ или $4a= x2− 2x.$

Дискриминант второго (квадратного относительно $x$ ) уравнения равен $1+ 4a$ , потому при $a≥ − 1 4$ также есть корни $x =1± √1-+4a$ .

Ответ:

$a$ при любых $a ∈ℝ;$

$√ ----- 1± 1+4a$ при $1 a≥ −4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43121

Для каждого неотрицательного значения параметра $a$ найдите множество решений неравенства

3 4 2 2 a x + 6ax − x+ 9a+3 ≥0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Параметр а у нас в кубе, не получается применить обычный трюк с квадратным уравнением. Давайте для начала применим другой, попробуем сделать замену и получить квадратное уравнение!

Подсказка 2!

Итак, для начала пусть а = 0, тогда легко найти, какой х. Теперь рассмотрим когда а>0 и домножим на а наше неравенство! Какую бы сделать замену, чтобы получить квадратное уравнение относительно а....

Подсказка 3!

Ага! Например, с = ах. Попробуйте теперь переписать наше условие с такой заменой, получив квадратное уравнение на а. Найдем у него корни с помощью дискриминанта...

Подсказка 4!

А теперь запишем наше уравнение с использованием этих корней (разложим на множители). У нас все еще неравенство, но слева теперь не страшное уравнение, а две скобки. Осталось осторожно их рассмотреть и получить ответ!

Показать ответ и решение

При $a= 0$ имеем $x ≤3$ . Далее $a> 0$ , домножим обе части на положительное $a$ и сделаем замену $ax= p$

4 2 2 2 2 4 p + 6ap − p+ 9a +3a≥ 0 ⇐⇒ 9a +a ⋅3(2p +1)− p+p ≥ 0

Найдём дискриминант $D =9(4p4 +4p2+ 1)− 36(p4− p)= (6p+ 3)2$ , выражаем корни $a= p−p2,− p2+p+1 3 3$ , откуда неравенство принимает вид

( p−-p2)( p2-+p+-1) 9 a− 3 a+ 3 ≥0

В силу $a> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому неравенство эквивалентно

p− p2 a − -3---≥0 ⇐⇒ p2− p+ 3a ≥0 ⇐ ⇒ x2a2− ax +3a≥ 0 ⇐⇒

⇐ ⇒ x2a− x+ 3≥ 0, D =1− 12a≥ 0

Решения при $a< 112$ будут $( 1−√1−12a] [1+ √1−-12a ) − ∞,---2a-- ∪ --2a---,+∞$ . Если же $a ≥112$ , то неравенство выполнено при всех значениях $x$ .

Ответ:

$(|| x≤ 3 a= 0 { (−∞, 1−-√1−12a]∪[1+√1−12a,+∞ ) a∈ (0,-1) ||( 2a 2a a ≥-112 x∈ ℝ 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43203

Найдите все $x$ , при которых неравенство

3 2 2 (a+ 2)x − (1+ 2a)x − 6x+ a +4a− 5> 0

выполняется хотя бы для одного $a∈ [−2;1]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте запишем это страшное неравенство просто как квадратное относительно а. Формулировка "хотя бы для одного а имеет решение" неудобная, давайте сначала найдем, при каких а оно не имеет решений, то есть для любых а верно противоположное неравенство.

Подсказка 2!

Но искать дискриминант у такого неравенства нам всё равно, конечно, не хочется... Давайте воспользуемся методом гвоздей в параболе! Для этого нам надо зафиксировать знак параболы в интересующих нас точках -2 и 1.

Подсказка 3!

Да, мы хотим понять, при каких х в граничных точках отрезка (а = -2 и а = 1) наша парабола принимает неположительные значения. Осталось только аккуратно разобраться, какие х подходят нам в ответ к ИСХОДНОЙ задаче, а какие нет!

Показать ответ и решение

Найдём сначала такие $x$ , при которых неравенство не выполнено ни для какого $a∈ [−2;1]$ , то есть для любых $a∈ [−2;1]$ верно

2 3 2 3 2 a + (x − 2x + 4)a+ 2x − x − 6x− 5≤ 0

При любом фиксированным $x$ левую часть можно рассматривать как параболу ветвями вверх относительно $a$ . Она принимает только неположительные значения на отрезке тогда и только тогда, когда она имеет два корня и этот отрезок располагается между её корнями. Для этого необходимо и достаточно, чтобы значения параболы на концах данного отрезка были неположительны. То есть

{ 4 − 2x3+ 4x2 − 8+ 2x3− x2 − 6x− 5= 3(x +1)(x − 3)≤ 0 3 2 3 2 1 +x − 2x +4 +2x − x − 6x− 5= 3x(x +1)(x − 2)≤ 0

Откуда $x∈{− 1} ∪[0,2]$ .

Итак, при этих значениях $x$ неравенство не выполнено ни для кого $a ∈[− 2;1]$ , иначе же найдётся такое $a$ . Итого дополнение даёт $x ∈(−∞;− 1)∪ (− 1;0)∪ (2;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(−1;0)∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100193

Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[−5;6]$ и после этого решает уравнение

3 2 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x +a+ 2= 0.

Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию становится понятно, что нам всё же придется искать корни кубического уравнения. Давайте тогда попробуем для начала найти хотя бы один из них. Попробуем разложить на множители выражение из условия.

Подсказка 2

Здорово, теперь мы знаем, что -1 — точно корень, вне зависимости от a. Получается, что нам хотелось бы добиться, чтобы у оставнегося квадратного уравнения был как миниму 1 целый корень, отличный от -1.

Подсказка 3

После деления выражения на (x+1) выразите a через выражения с x. Так как мы хотим добиться целого x, имеет смысл выделить целую часть.

Подсказка 4

Вспомните, что a тоже целое! Каким тогда будет x, если он присутствует в дроби 8/(3x-1)?

Подсказка 5

Если х целое, оно будет обязательно делителем 8. Отсюда несложно разобрать случаи a.

Показать ответ и решение

Так как

3 2 ( 2 ) 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x+ a+ 2= (x+ 1) 3x − (3a − 1)x+ a+2 ,

то $x= −1$ будет корнем при всех $a$ . Решим в целых числах уравнение

2 3x − (3a− 1)x+ a+ 2= 0

Его удобно записать в виде $a(3x− 1)=3x2+ x+ 2$ или

3x2+ x+ 2 x(3x− 1)+ 23(3x− 1)+ 83 2 8 a = -3x−-1--= -------3x-− 1------ =x + 3 + 3(3x−-1)

Поэтому $3a =3x+ 2+ 38x−-1$ , и значит, $3x− 1$ равно одному из чисел $±1,±2,±4,±8$ . В итоге получаем целые решения: $x =1$ , если $a =3; x =3$ , если $a= 4; x =0$ , если $a= −2; x =− 1$ если $a= −1$ .

Таким образом, при всех $a$ , кроме а равному $3,4,− 2$ и -1 , исходное уравнение имеет один целый корень $x =− 1$ а других целых корней не имеет.

При $a= 3$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =1$ и корень $x= 53$ .

При $a= 4$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =3$ и корень $x= 23$ .

При $a= −2$ уравнение имеет целые корни $x= −1,x =0$ и корень $x= − 73$ .

При $a= −1$ уравнение имеет два корня: $x= −1$ и $x =− 13$ .

Поэтому три различных корня, из которых два будут целыми, получаются в 3 случаях из 12. Вероятность равна $312 = 14$ .

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43118

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

4 2 2x − 7ax +5a = 0

имеет хотя бы один целый корень?

Источники: ОММО-2013, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Относительно х видим какое-то непонятное уравнение 4-ой степени, а относительно а? Квадратное уравнение! Давайте посчитаем дискриминант и поймем, при каких х существуют решения?

Подсказка 2!

Верно, чтобы дискриминант показывал наличие корней, мы хотим чтобы у нас он был больше или равен нулю. Вспомните, что х целый по условию и найдите, чему он может быть равен!

Показать ответ и решение

Запишем дискриминант относительно $a$

2 4 2 2 D =49x − 40x =x (49 − 40x )≥0

Решения есть только при $x∈ {0,±1}$ (не забываем, что $x$ целый). Подставим $x= 0$ , получим единственное решение $a= 0$ . При $x =1$ имеем $a= 7±3= {1,2} 10 5$ . При $x= −1$ $a∈{− 1,− 2} 5$ .

Ответ:

$0;±2;±1 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90947

Найдите все такие значения величины $x$ , при которых неравенство

2 (4− 2a)x + (13a− 27)x +(33− 13a)> 0

выполняется для всех $a$ , удовлетворяющих условию $1< a< 3.$

Источники: Вступительные на биологический факультет МГУ, 1994 год июль, номер 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким является данное неравенство относительно а?

Подсказка 2

Линейным! Тогда нам просто нужно записать его в виде k(x)a + b(x) > 0 и посмотреть, при каких значениях х в решения данного неравенства будут входить нужные нам ашки (не забудьте, что нам важно, какого знака выражение k(x)!)

Показать ответ и решение

Эта задача может запутать обозначением переменных. Тут параметр – $x,$ а независимая переменная – $a!$ Тогда перепишем исходное неравенство: