17.07 Трапеция и её свойства

Пусть точки и — середины оснований и трапеции соответственно, — точка пересечения диагоналей, — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции.

Сначала докажем, что на одной прямой лежат точки , и .

Пусть — точка пересечения и . Тогда по двум углам , — общий) с коэффициентом .

Аналогично тоже с коэффициентом .

Из первого подобия: .

Из второго подобия: .

При этом совпадает с серединой основания и точки , , лежат на одной прямой.

Теперь докажем, что на одной прямой лежат точки , и (в совокупности с предыдущим фактом из этого следует, что все четыре точки лежат на прямой )

Пусть — точка пересечения и . Тогда по двум углам , как вертикальные) с коэффициентом .

Аналогично тоже с коэффициентом .

Из первого подобия: .

Из второго подобия: .

При этом совпадает с серединой основания и точки , , лежат на одной прямой.

Тогда точки , , , лежат на одной прямой.