Лемма об уточнении показателя

Предположим, что нечетное. Тогда правая часть делится на откуда или

В первом случае получаем, что Тогда является квадратичным вычетом по модулю а — не является, откуда является квадратичным невычетом по модулю но

откуда получаем противоречие.

Во втором случае получаем, что делится на откуда Тогда имеем уравнение Заметим, что откуда По лемме об уточнении показателя получаем, что

откуда То есть что возможно только при и

Разберем случай четного Пусть то есть Заметим, что делит откуда

Заметим, что при откуда Тогда Тогда

С другой стороны

откуда

Заметим, что а откуда следует, что то есть делится на Тогда Посмотрим на наше равенство по модулю Имеем откуда — четное. Тогда из только что полученного равенства на степени вхождения следует, что

То есть число не может делиться на Значит, откуда Тогда имеем уравнение

Заметим, что при

Если то — нет решений.

Если то откуда

Вернемся к исходному уравнению

Посмотрев по модулю получаем Далее Но по лемме об уточнении показателя

откуда что не может быть правдой. Значит,