Тема . Остатки и сравнения по модулю

Обратные остатки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#118930

Дано простое число p.  Для каждого натурального x ∈{1,2,...,p− 1} рассмотрим выражение x2+ 3x +1.  Оказалось, что ровно 1  из них делится на p.  Найдите все возможные значения p.

Показать ответ и решение

Пусть a2+ 3a+ 1≡ 0,
          p  рассмотрим обратный вычет a−1  (он существует, так как a⁄≡  0
  p  и p -простое число  ) и выражение  −2    −1
a  + 3a  + 1.

 −2   − 1     a2+ 3a+ 1
a  + 3a  +1 ≡p----a2----≡p 0,

но по условию такое число одно, получаем, что     −1    2
a≡p a  ⇒ a − 1 ≡p 0⇒ a ≡1 или a≡ −1.

Пусть a≡p 1,  тогда 1+ 3+ 1≡p 0 ⇒ p= 5,  проведем проверку, что для x∈ {2,3,4} неверно x2+ 3x+ 1 ≡p 0.

  •         2
x =2 ⇒ x +3x+ 1≡5 1
  • x =3 ⇒ x2+3x+ 1≡5 −1
  • x =4 ⇒ x2+3x+ 1≡5 −1

Пусть a≡p − 1,  тогда a2+ 3a+1 =1 − 3+ 1= −1≡p 0,  что невозможно при любом p.

Ответ:

 p =5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!